● 本文是作者为《中小学数学（小学版）》2012 年第 9 期撰写的编者语

 

    “对称”（Symmetry），一个广为人知、应用广泛的词，其表意 之丰富、之深遽，堪与物质、存在、规律等词同列上位；其在哲学、数学、人文社会科学、自然科学、社会生活及生产等各领域均有种类或数量难以穷举的表述；甚至因由年龄不同、经历不同、目的不同、观念不同，对“对称”的认识或看法也会有不同；对称观点、对称关系、对称方法，对称结构，……难以尽数，现实中更是充满了对称现象。 

    “对称”如苍天，没有哪个领域或学科能脱离苍天俯视，任何学问都以诠释本门立论所离不开的对称思想为要务。以至，上世纪70 年代，毛主席在接见美籍物理学家、诺贝尔奖获得者李 政道博士时，首先疑问道：“为什么对称是重要的？”

    对称性已被清楚地证明是描述自然界的有效工具，我们所学的知识都以各种各样的对称性为基础，对称系统在数学中更易于描述，自然界的奥密用数学语言写就，进入现实王国的密码就是 “对称”。 
 

    一、 “镜像对称”——人人熟知的“对称” 

    面对如此不寻常的词,俺不禁想问：啥是对称？有易于俺们理解的、公认的“对称”表述吗？还真有！这个表述方法是大家在上小学时从算术、语文、音乐、美术等课程中获得的；是以实物、图形或画面为直观背景的；是人人都可意会，但不易用话语把它概括出来的；一般通过描述对称事实予以说明，属就事论事式的表述。例如，具有左右对称显著特征的动物、建筑物、家具或用品就是常用于启蒙认识对称形象的实物。

    小学一年级学生还不能够独立概括这类现象或事实，仅处于“认得”或“识得”的水平，认为“对称”就是这样子的，尚无意触及对称的本质。

    小学二年级数学课本对“对称”的解释为“将一个图形对折以后，两边的图形完全重合”，对折产生的折痕叫做“对称轴”。这个解释较狭隘，但易理解、好掌握。教师在使学生认识对称的过程中，一般辅以“折、画、剪”等操作活动，使学生认识到：对称图形两边对折后，折线两边能够完全重合在一起。将“左右相同”归结为“左右重合”，或反之，这种“认得对称”的水平是普遍的，大多数人对“对称”的认知一辈子都维持在这一水平。

    许多人在中学或大学学过几何学之后，对“对称”的认知也基本处于“左右全等”、“对折重合”的水平，并且习惯于借助直观手段的辅助。

    但是，假如把呈“左右对称”的画面竖放或斜放，或者把一座呈轴对称形状的物品竖立或斜置，再提问是否对称时，习惯于“对称”的左右水平呈现形态的多数人会因有悖习惯而不能马上做答。这就是人们面对各种对称现象时的最朴素、最直接的反应。

    实际上，对“对称”的认识最早是从幼儿园或父母那里开始的，左右手、左右脚、左右腿、左边和右边等概念是幼儿阶段形成的经验性或习惯性认识，这是对“对称”的幼儿期认识。待到读小学时，则进一步学习了左右概念及其应用，这时，学生自己的左右手起到了关键性的位置参照作用。

    值得注意的是，与人体有关的前后对称性也是常用的，但却经常被忽略，教师与家长均未注意提炼出“左右”和“前后”是地位相等的对称现象。“对称”概念的形成初期就是这样的。

    被忽视的“对称”现象还挺多，以“观察者视角”为例，观察者若从某个角度观察某物是不对称的，还不能马上下“不对称”的结论，要多换些角度观察再说。现实生活中常用的自行车、汽车从侧面看显然不对称，但从正面看则显现出对称性。这仅仅是看得到的对称性，还有看不到的对称性，例如汽车的动平衡性，需要仪器测试才能得到确认。这说明观察方法是多样的，不仅是用眼。

    现在的数学课经常要求学生学会观察，但教师很少注意讲授观察方法，作为观察方法之一的“观察者视角”是很常用的数学方法，也是观察能力的集中体现，可以作为重要的数学教学内容讲授给学生。

    现在小学阶段数学课程安排了“三视图”内容，其意义如何，尚待确证，但若通过“三视图”来教学“观察者视角”，并进一步提炼出观察方法，这就是极有意义的事啦。

 

    二、“对称”与数学教学 

    如何从理性上、用数学方法去精准把握“对称”这个一直在发展着的概念（几百年来，数学、物理学、化学经常产出与“对称”相关的重大进展或发现），使之在人的智慧或思维水平的提高上产出显著效益，这值得中小学数学教师认真研究。

    笔者曾经撰文强调，有三个重要的概念及相关的思想、方法是贯穿于数学科学的，是从小学一年级一直到上大学、读研究生、做科研都离不开的，这就是“对称、对应、比”。这是三个相互之间有多层次联系的最重要的数学思想，三个在数学发展历程中不断发生交互作用的，你中有我、我中有你的数学方法，在他们身上体现出无可限量的力量，是应该在数学教学中经常渗透的，绝非可有可无。同时，如果教师能够从小学算术中挖掘出对称、对应、比的思想方法，这无疑会提高小学数学的育人价值。

    做到这一点并不难，只须教师对其有基本认识，知识上有一些储备；教学中不刻意增加课时和作业，却能发挥四两拨千斤之效。这方面的教学行为可透射出教师对数学的认识以及专业能力。

    小学阶段，算术在解释和运用对称意义上有许多便利性，植树问题、找规律、鸡兔同笼、数字谜、九宫格都是运用对称思想或方法的现成问题。从教学角度研究数学定义不是“咬文嚼字”，而是从中提取思想和方法的营养或力量，能做到这一点除需要些数学功夫外，也需要教师对整个数学中的少数核心思想或方法有基本的、清晰的认识，当然，还要有深度的教学思考，这样才能从数学中挖掘出积极的思想和力量，惟如此才能教给学生活的知识、聪慧的知识，才能从数学宝库中提取真正的、高效的营养以哺育学生。
    （待续）
    （谭晓明选编）