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“对称”及其数学教育意义(三)

发布时间:2015-06-06 23:07 点击数: 【字体:
    五、“等号”与“对称”
    小学一年级最重要且最常用的对称概念是“=”号,用等号连接的左右相等关系是超越直观性对称的第一步,这不同于形的对称,意味着有关对称的表述用到了计算。递等计算过程中的算式变形是等值变换,目的是保持对称,这是更具本质性的对称,属于较抽象的对称关系。
    “=”蕴含着最重要的对称性质,可分解为:反身性、对称性、传递性。想说明“相等”有时不是一件“轻松”的事。为了省时、省力,人们努力揭示最少受限的算术运算律,利用等号揭示加乘运算的对称规律。
    等号最先用在对自然数的算术运算上。自然数的生成遵循的也是对称规律,对称的基础首先是“自然数关于等式是封闭的”,即假如a是自然数,且a=b,则b是自然数;然后是自然数的开端“0”。
    如果自然数只包含“0”,仅仅是一个孤立的存在,那就没有任何意义,就是一个在实践中用不上的概念,当他与其他数建立了某种内在的具有生成和依存意义的联系时,“0”就有了意义,这个联系的承担者就是“1”。
    人要创造用得上的、具有普适价值的概念,就不能止步于“0”。于是在0之后,通过持续的“加1”动作生成了1,2,3,……,以备不时之需。
    如果对每一个自然数都予以定义,费时费力不说,且永无出头之日,根本定义不完。
    人不能把自己难死,需要制定一个自然数的产出规则,这个规则首先要解决紧挨着0的那个数是谁,紧挨的含义是由“0”到紧邻数之间不会有其他的数。
    如果这个原则确定了,就相当于确定了一个生成所有自然数的办法,因为有了“0”和之后那个数的关系原则,只须不断重复这个原则就可以生成被称之为自然数的任何数。
    20世纪初,意大利数学家皮亚诺(G·Peano,1858-1932)审时度势制定了自然数的公理化定义。在这个定义里,“0”可以被看做是自然数的首元素,又说所有的自然数都有紧邻后继,譬如“0”的紧邻后继是0’=1,1的紧邻后继1’=2,……这就是小学一年级学到的数的生成原则,由0开始,通过“加1”(称作“后继运算”)生成更多的自然数,任何一个自然数都是由紧邻的前一个数加1生成的,换言之,所有的自然数“加1”(“后继运算”)后就生成紧邻其后的那个数。“加1”是规律,加1得到的是“紧邻后继”。
    这个方法可以一直用下去,生成任何自然数,“加1”是不变的生成原则,若不怕费事,用“0”及右上肩头的“撇”能表达任何自然数。例如0’’’’’’=(5’)’=6。自然数原不过是首元素“0”与“加1”运算的持续不断的过程,没有结尾。
    前面说到“0”的孤立存在没有意义,而其紧邻后继0’=1依赖于紧邻前继“0”,几乎所有的自然数都结合为有前、后继关系的整体,只除了“0”,它是自然数的开端,开端的含义是:“0”没有紧邻前继,也不是任何元素的紧邻后继。除了“0”,其他自然数皆具有“前继”与“后继”双重性质。
    “1”的重要性远不止于此,由于“加1”的生成作用,人们喜欢把“1”作为单位基准数来看待,任何种类的量都要定义好自己的单位量。不选1当基准单位数行不行?行!但可以想见会有多麻烦。数学讲究减少麻烦,选择“1”作为公共基准数最起码的可以省却不同类量之间相互转换的麻烦。
    商品买卖时,货币基准值1元与大米重量基准值1公斤的关系一目了然,人人都看得懂价格标签标示的每公斤大米单价2元的含义。你不妨试试货币用“3”作基准值、大米用“5”作基准值时,价格标签应如何写?以这样的标签为依据买大米,该如何表述才能让售买双方明白呢?换算过程肯定很麻烦。用“1”作公共基准值,客观上成了“对称”的基石。
    由前述所知,“对称”的等价含义就是“规律”,或者“规律亦是对称”,这两个词在本质上反映的是同一个概念——“不变性”,说白了就是变中的不变的规律。
    德国人在教小学一年级学生学习自然数时,就渗透了上述思想,这可以从他们设计的学具中看出(如图5)。而我们的教学则忽略了这一思想,缺乏向学生渗透自然数生成规律的教学思想和教学手段,“智慧的营养”就这样流失了,学生学得的是“营养被人为流失了的数学”。
图5
    玩偶人被放在计算螺旋梯上,他目前站在开始的位置:他第一次走了零步并且站在零个球的位置上。(图5、6由德国施万克⋅英格博士提供)
图6
    玩偶人目前站在二个球的球棒上。玩偶狗被放在他的旁边(装着三个球的棒)
                                     
    注意!“紧邻”概念很重要,这意味着一个数与其后继数之间没有“加塞儿”的。这个概念不是天生的,是人们对各种“量”的数值化认识的结果。
    例如,由于1个苹果是苹果量的基准单位,故数苹果是:1个苹果、2个苹果、3个苹果,……而不是1个苹果、1个半苹果、2个苹果……。“1个半”不是1的紧邻后继,所以“1个半”并无相应自然数予以表达。这就是自然数,能数1个、数不了1个半,数1个半要用到分数(小数),分数与自然数有不同的生成规律。
    那1斤加1两能不能等于2斤(或2两)呢?不能且不对!道理是什么?我们利用自然数可以表达1斤、2斤、3斤、……,或者表达1两、2两、3两、……但若要1斤加1两,因1两并非1斤的“紧邻后继”,也不是1斤的前继,也不会是之后的任何数的紧邻元素,实施加法运算后的结果并不能用自然数来表达,需要扩展自然数增加新的数。
    基准单位可以是“个”、“公斤”、“筐”、“吨”、“车皮”、“袋”,但基准单位值一般取自然数1,以便于不同量之间的数值换算。
        
    六、“对称”是算术的思想基础
    看来,用自然数来数,规矩还不小,不能乱数。在具体的情境下,要具体量具体分析,要有量的意识及量的规定。实施加法运算,除了关系到同类量外,还要区分“名数”和“不名数”。
    自然数属“不名数”;1斤、1两、1米属“名数”。“名数”是“量”不是数,“量”为数所度,谓之度量,需要度量的时候先敲定计量单位,再取自然数或分数即可。
    对量实施算术运算要顾忌计量单位,要考虑“单名数”、“复名数”、“低级单位”、“高级单位”,要搞清“主单位”及相关进率,还要根据具体问题的要求,确定“化法”(高级单位化为低级单位)或“聚法”(低级单位聚为高级单位),否则会造成运算混乱。
    例如“1斤+1斤=2斤”,两个相加量是同类量,名数相同,且是单名数,加得的结果自然还是同类量、同名数、单名数。知道了这些情况,列算式写得数“1+1=2”就行了,就能保证解答的正确性。顶多在得数后面用括号括个单位名,以示结果是2(斤)。
    但“1斤+1两”却是同类量异名数相加,加得的结果是同类量复名数,得1斤1两,这就不能用“1+1=2”这个算式。若想由斤化为两,结果取单名数“两”,则须先将1斤化为10两(高级单位1斤化为低级单位10两),两个加数的名数统一了,再运用算式“10+1=11”得11(两)。若加得结果要求表为斤,则须将两聚为斤,由两到斤是十进计量,即1两为1/10斤,算式是“1+1/10=1(1/10) ”,得1(1/10)(斤),超出了自然数集合,用到了小数或分数运算。
    不同类量就不能用加法吗?非也!要视具体问题而定。
    同类、不同类是相对的,问1只猫加1只狗,共有几只猫几只狗,就不能用“1+1=2”来表示计算过程和结果。但若问有几只动物,则可以用“1+1=2”得2(只)动物。在计算实际问题时,要注意量的分类的相对性,如此才不会用错算式。
    除了自然数以及相关的量受着对称规律的制约,算术运算本身同样受对称规律制辖,上述加法运算也遵循着对称原则:若已知A>B,则必存在量C,使得A=B+C。必存在C啊!此乃由A>B所知。
    加法对称性的这个原则是可逆的:若已知量B和C,则必存在一量A,使A=B+C。这说明A是量B和量C之和,求量B、C之和的运算叫加法,这个原则永远可以实施。A呀,其命数要由B和C来定啊!
   “数”、“量”、“运算”都遵循着某种“对称”规律,这些规律的中介就是“=”。试想小学数学中,什么时候能离开这个符号。等号两边,无论表达如何不同,实质必是相等的、对称的。等号左右的对称关系是“强”对称,是对称的至高境界,不像疑似镜像对称,有些因不能立马验证左右重合,还不能及时断定是镜像对称的。
    另外,小学数学中讲到的单位(质量单位、测量单位、数量单位)也是典型的对称概念。因为“单位”的关键性质就是“在任何地点、任何时刻都能够以所要求的精度再现”。有了单位,才能区分可加量或不可加量。
    (待续)
 
(谭晓明选编)
 

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