经常接到老师们的电话，讨论一些小问题。现把手上有的一些问题陆续放到这，供大家参考。也特别盼望您能提出一些新的问题供我们讨论。
    您可以直接在后面的评论中提出问题。感谢您的支持！

    学生不相信三角形内角和180度，怎么办？

问题描述

    在教三角形的内容和时，学生测量数据不一，有的学生同意老师的说法，即三角形内角和是180度，其他数据是因为误差。但也有学生不相信：凭什么179是误差，180是准确的，而不是相反呢？

讨论

    折一折，拼一拼，如何？

    折、拼和量一样，逻辑上并没有特别区别，因为两者都是把结论建立在感官的基础上，而不是理性的基础上。三个角拼在一起是一条直线，而不是一个179度的角，这也是你看出来的。我非要说看起来这更象一个179度的角，你也没太多办法。

那还有什么办法？

    严格的说，真没有办法！因为严格的办法是利用平行公理证明。
    当然有一个稍稍有点说服力的方法，那就是：
    两个相同的直角三角形可以拼成一个长方形：

    利用长方形四个角都是直角来说明：
    直角三角形的内角和是180度
    而任意的三角角总可以分为两个直角三角形：

    把这两个直角三角形的内角和相加，再减去多算的那两个直角，就是原三角形的内角和，也是180度。
    据说这个方法源自少年帕斯卡。
    然而，长方形四个角都是直角，这本身也要有平行公理才能得到。

教学实践中怎么办？

    教学实践中，你若真碰到了这样的学生，那么恭喜你！说不定你会成为一名优秀数学工作者的启蒙老师。
    也许你可以这样说：
    我们做了很多实验工作，量了，折了，拼了，量的数据是这样，折和拼的情况我们也看到了。XX同学认为，没有充分的理由说明三角形的内角和是180度，这是有道理的。如果只有目前这些证据，你真的可以选择相信三角形内角和也许是179度，或者三角形内角和也许根本就没有这么简单的规律，不一定所有三角形内角和都一样，说不定就有179度的，181度的。
    当然，你也可以选择相信自然界一定存在一种简单的规律（爱因斯坦就相信这个），三角形内角和不可能是这么杂乱无章的。180度相当于两个直角，与其相信179，不如相信180。
    只是老师想说，到了中学，会有一种更强有力的手段，会让你相信，真的是180度。
    这种科学精神的涵养，比一个结论有价值很多。

到中学就万事大吉了吗？

    简单的说，如果你相信平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。你就必须相信内角和定理。这是理性精神。
    说明：我们的教材上通常这样写平行公理，《几何原本》中不是这样，不过这不关键。
    问题是，我凭什么必须相信平行公理呢？
    对！你可以不相信，这也是理情精神。是这样，如果你相信平行公理，就要相信内角和定理，这是理性精神。你也可以怀疑平行公理，从而怀疑内角和定理，这也是理性精神。这种精神再加上一些技术手段，结果就是非欧几何。

    有点远了，打住。