小学数学并不简单。本刊 2012 年第六期，就有马建平和戎松魁两位老师的文章，他们针锋相对地就“三角形内角和为 180 度的证明能否避开平行公理”展开争论。由此可见，小学数学里的学术含量并不低。

    以笔者看来，“小学数学”多年来一直缺乏现代数学观念的引领，不能与时俱进。现行教材中有关分数、运动、角、平行线、面积、体积、方程等等基本概念的阐述，都有许多欠缺，甚至出现错误。

    近段时间以来，小学数学只讲究怎么教，在教学设计上下工夫。至于许多数学概念本质的揭示，则不大关注，以为小学数学那点事，谁都懂。可是，一不小心就出了状况，令人遗憾。
这里以人教版一年级下册“找规律”为例，见下图：

    这里的一个“应”字，就是不妥当的。它意味着找的规律只有一种（两个一组间隔出现），第一排的第10面旗只能是黄色，即“红、黄、红、黄、红、黄、红、黄、红，黄”。

    小学数学界一向认为，此题的答案非“黄”不可，必须让学生无条件地接受“两两间隔”这一规律。这妥当吗？

    事实上，我们可以找到许多其他的规律，使得第10面旗是“红”。

    例1：（9个一组，周期重复）于是第9、第10 ；第18、第19，连续两面都是红旗，即 :红、黄、红、黄、红、黄、红、黄，红；红、黄、红、黄、红、黄、红、黄，红；红、黄、红、黄、红、黄、红、黄，红；红，……

    例2：（10个一组，最后两面都是红旗）第9、10、11 连续地出现三面红旗，即 :红、黄、红、黄、红、黄、红、黄，红，红；红、黄、红、黄、红、黄、红、黄、红、红；红、黄、红、黄、红、黄、红、黄，红，红；红……

    你能说这不是规律吗？

    实际上，找规律问题是一个开放性问题。任何一个有限序列，都可以生成无限的多种的规律。认为只有一个规律，推断出“必须是什么”和“应该是什么”，把开放题封闭成一个唯一答案的题目，在数学上是不对的。

    有人说，小学生只能找最简单的一种，多种规律是以后的事情。这可以理解。但问题在于，小学数学的大量课件、教师用书都没有指出这是一个开放性问题。有些文章在讨论，重复几次才算“规律”，更是误导。

    怎么办？

    只要改一个字：把“后面一个应是什么”改成“后面一个会是什么”就可以了。“应”和“会”一字之差，意义完全不同。

    苏步青先生在指导中小学教材编写时，提出“混而不错”的原则。用在找规律的时候是，如果问“会是什么”，其答案可以有许多种，其意义比“应是什么”宽泛许多。至于将来在几年级将它当做一个开放性问题来处理，可以讨论，但是必须有这样一步才好。
 

    让我们回到“三角形内角和为 180 度”的问题上。

    马建平和戎松魁两位老师的争论点，在于矩形可否定义为“四个角都是直角的四边形”。

    马老师认为可以，于是就认为由此可以证明三角形内角和定理，而无需平行公理。

    戎老师认为不可以，必须用平行四边形定义矩形，由此说明三角形内角和定理不能绕开平行公理。

    笔者认为，两位老师都有对的部分，也有不对的部分。

    马老师觉得矩形可以定义为“有四个直角的四边形”，这是对的。但是，以为由此定义出发，可以避开平行公理来证明三角形内角和为180度，则是错的。

    戎老师坚持三角形内角和定理，必须使用平行公理，这是对的。但是，说矩形不能定义为“有
四个直角的四边形”，则是不对的。

    实际上，将矩形定义为“四个角都是直角的四边形”，完全可以。属和种差式的逻辑定义方法，并没有规定所从属的“属”必须是其外延最相近的。

    打个比方，要定义“杭州人”，可以说成“居住在杭州的中国人”，没有错。也就是说，并非一定要把“杭州人”定义为“居住在杭州的浙江人”，因为二者是等价的。

    对于矩形的“四直角”定义，一旦服从平行公理，就和“有一个角是直角的平行四边形”定义等价（如果没有平行公理，那么两者是不等价的）。

    然而，如同马建平老师和许多其他文章所说的那样，可以从“四个角都是直角的四边形”出发，绕开平行公理就能够直接推出“三角形内角和为180度”，则是不可能的。理由如下。

    依照四个角都是直角的矩形定义，自然得出矩形的内角和是360度，这毫无问题。矩形的对角线把矩形分为两个一样的直角三角形，只要运用平移旋转的刚体运动也可以做到。小学生也知道一点平移、旋转、对称的知识，可以直观地接受，严密地逻辑证明需要引用合同公理得出两个三角形三边相等则全等的结论，逻辑上引用就是了。

    于是，得到了如下的结论：“矩形对角线分成的两个直角三角形，每一个的内角和都是180度。”逻辑的正确性到此为止。

    问题在于，“任意的直角三角形，是不是都能成为某一个矩形用对角线分成的直角三角形？”这需要证明，不能想当然。马老师及许许多多作者都振振有词地把两者混为一谈，犯了逻辑上的错误。

    换句话说，马老师等作者的所谓证明，必须从任意的“直角三角形”出发，作出一个矩形，使其成为该矩形的一半。但是没有平行公理，这是作不出来的。那个貌似正确的三角形内角和证明，这一关过不去，整个证明的逻辑链条就断裂了。

    马建平老师可能会说，从已知的直角三角形出发，作一个和自身一样的直角三角形，两者拼起来就是一个矩形。这是一厢情愿。这样拼起来的四边形只有两个直角；无法证明它有四个直角，除非引进平行公理。

    这就是说，想从“矩形有四个直角”作为矩形的定义出发，避开平行公理来证明三角形内角和为180度的企图，是决然不可能实现的。

    马建平和戎松魁两位老师，还就此事提到“我的课堂我做主”的高度来议论。但是，由上可见，这种所谓“拔高了的教学目标”和“到初中才能学习的”内容，其实是一个错误的论证。
             
    （ 教学月刊小学版 2012.9 数学）（重庆大渡口区实验小学 刘凤老师推荐）