重庆市小学数学名师，重庆市小学数学骨干教师，大渡口区首批名师及区小学数学名师工作室主持人刘凤校长送课到龙洲湾小学
 

    东方的中国，有着辉煌的古代传统数学。不过,现在学校里的数学课程，则以古希腊数学为主线。国际调查表明,在一次国际数学测试中,中国大陆13岁学生的正确率位居21个国家和地区的第一位。中国孩子学习西方数学成绩优良，难道西方数学中有中国文化的因素？料想是不会有的。不过，说西方数学和中国文学在某些意境上相通，那就很有可能。无论数学和文学，毕竟都是人类思想的产物。

    数学和文学之间，曾有过一些可供谈助的材料。例如:
    一去二三里，烟村四五家，
    楼台七八座，八九十支花。
把十个数字嵌进诗里,读来琅琅上口。郑板桥也有咏雪诗：
    一片二片三四片，五片六片七八片：
    千片万片无数片，飞入梅花总不见。
诗句抒发了诗人对漫天雪舞的感受。不过，以上两诗中尽管嵌人了数字，却实在和数学没有什么关系。

    数学和诗词的联系，在于意境。大家熟知的“一尺之捶，日取其半，万世不竭”是一个著名的例子。出自《庄子》的这段话，文学味道还不足。数学名家徐利治先生在课堂上讲极限的时候，总要引用李白的《送孟浩然之广陵》诗：
    故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州。
    孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流。
“孤帆远影碧空尽”一句，让大家体会一个变量趋向于0的动态意境，煞是传神。

    极限是无限过程。中国文学里描写无限的诗句很多。老子《道德经》第四十二章首句说，“道生一，一生二，二生三，三生万物”，那本是对宇宙起源的一种探索和认识。不过，从数学观点看来，很象自然数的皮亚诺公理，即从“道”出发，用“后继”的步骤把自然数一个一个地创造出来，而且构成“万物”—一个无限的系统。

    不过，最接近数学无限意境的也许是杜甫的《登高》，其中有“无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来”两句。仔细琢磨，似乎“无边”和“不尽”说的是“实无限”，而“萧萧下”与“滚滚来”，则描述了动态的“潜无限”。诗人当初未见得有这种数学思维，但就意境来说，相当接近，令今天的学子可以直觉地有所感受。

    更有意思的是用诗句描述“无穷大”和“无界变量”的意境，贵州六盘水师专的杨光强先生告诉我，他在课堂上引用用宋朝叶绍翁的名句：
    满园春色关不，一支红杏出墙来。（《游园不值》）
时，学生每每会意而笑。实际上，所谓无界变量，是说无论你设置怎样大的正数M,变量总要超出你的范围，即有一个变量的绝对值会超过M。于是，M可以比喻成无
论怎样大的园子，变量相当于红杏，结果是总有一支红杏越出园子的范围。诗的比喻如此恰切，生动的意境联系到枯燥的数学内容，竟无牵强之处。

    空间和时间都是无限的。近日与友人谈几何，不禁联想到初唐诗人陈子昂的名句：
    前不见古人，后不见来者：
    念天地之悠悠，独怆然而涕下。（《登幽州台歌》）
一般的语文教材解释说：上两句俯仰古今，写出时间绵长：第三句登楼眺望，写出空间辽阔。在广阔无垠的背景中，第四句描绘了诗人孤单寂寞悲哀苦闷的情绪，两相映照，分外动人。
    然而，从数学上看来，这是一首阐发时间和空间感知的佳句。前两句表示时间可以看成是一条直线(一维空间)。陈老先生以自己为原点，前不见古人指时间可以延伸到负无穷大，后不见来者则意味着未来的时间是正无穷大。后两句则描写三维的现实空间：天是平面，地是平面，悠悠地张成三维的立体几何环境。全诗将时间和空间放在一起思考，感到自然之伟大，产生了敬畏之心，以至怆然涕下。这样的意境，是数学家和文学家可以彼此相通的。

    进一步我们或许可以发问：爱因斯坦的四维时空学说，也能和此诗的意境相衔接吗?

    中国的诗词中，对仗是一个重要的内容。

    数学中的对称和诗词中的对仗，乍看上去两者似乎风马牛不相及，其实它们在理念上具有鲜明的共性，即在变化中保持着不变性质。

    数学中说两个图形是轴对称的，是指将一个图形沿着某一条直线（称为对称轴）折叠过去，能够和另一个图形能够重合。这就是说，一个图形“变换”到对称轴另外一边，但是图形的形状没有变。如图，蝴蝶的两边是彼此对称的：

蝴蝶的两边是彼此对称的

    几何学中这种“变中不变”的思想，在对仗中也反映出来了。就拿我们非常熟悉的两句诗来说：
    明月松间照，清泉石上流。（王维：《山居秋嗅》）
来说，诗的上句“变换”到下句，内容从描写月亮到描写泉水，确实有了变化。但是，这一变化中有许多是不变的：
    “明”—“清”（都是形容词）
    “月”—“泉”（都是自然景物，名词）
    “松”—“石”（也是自然景物，名词）
    “间”—“上”（都是介词）
    “照”—“流”（都是动词）对仗之美在于上下联中的不变性。试想，如果上句的词语变到下句，含义、词性、格律全都变了，就成了白开水，还有什么味道？

    由对称演变推广开来的数学思想，是“不变量”思想。分数的约分，三角形的全等，方程的同解，都是说在变化中存在着不变性质。著名的寇尼斯堡七桥问题，是用拓扑不变量来解决的。数学大师陈省身享誉世界，正是他发现了纤维丛的不变量—“陈类”。
    中国文学艺术中，除诗词中要求对仗之外，更有单独的艺术形式：“对联”。寻求一些“绝”对的答案，和寻找数学的不变量一样，难度也很大。

    示“变化中不变的规律”，是一种“美”。一个民族必须与时俱进，不断创新，但是民族的传统精华不能变。京剧需要改革，可是京剧的灵魂不能变。古典诗词的内容千变万化，但是基本的格律不变。
    自然科学中，物理学有能量守恒、动量守恒，化学反应中有方程式的平衡，分子量的总值不能变。总之，惟有找出变化中的不变性，才有科学的、美学的价值。

    数学上的对称本来只是几何学研究的对象，后来数学家又把它拓广到代数中。例如，二次式x2＋y2，当把x变换为y，y变换为x后，原来的式子就成了y2＋x2，结果仍旧等于x2＋y2，没有变化。由于这个代数式经过x与y变换后形式上与先前完全一样，所以把它称为对称的二次式。进一步说，对称，可以用“群”来表示，各色各样的对称群成为描述大自然的重要数学工具。

    物质结构是用对称语言写成的。诺贝尔物理学奖获得者杨振宁回忆他的大学生活时说，对我后来的工作有决定影响的一个领域叫做对称原理。1957年李政道和杨振宁获诺贝尔奖的工作—“宇称不守恒”的发现,就和对称密切相关。此外，为杨振宁赢得更高声誉的“杨振宁一米尔斯规范场”，更是研究“规范对称”的直接结果。在“对称和物理学”一文中的最后，他写道：“在理解物理世界的过程中，
21世纪会目睹对称概念的新方面吗？我的回答是，十分可能。”（《杨振宁文集》第444，703页）

    对称是一个十分宽广的概念，它出现在数学教材中，也存在于日常生活中，能在文学意境中感受它，也能在建筑物、绘画艺术、日常生活用品中看到它，更存在于大自然的深刻结构中。数学和人类文明同步发展，“对称”只不过是纷繁数学文化中的标志之一。我们从中国文学的“对仗”和“对联”出发，寻找与当代物理学在思想意境上的某些契合点，对于增进理解这一概念也许不无益处。

    问题是数学的心脏。数学研究和学习需要解题，而解题过程需要反复思索，终于在某一时刻出现顿悟。例如，做一道几何题，百思不得其解，突然添了一条辅助线，问题豁然开朗，欣喜万分。解一道不等式，屡屡碰壁，突发一念，迎刃而解。这样的意境，令人想起王国维借用宋词来描述的意境：
    昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。（晏殊：《蝶恋花》）
    衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。（柳永：《蝶恋花》）
    众里寻他千百度，蓦然回首，那人正在，灯火阑珊处。（辛弃疾：《青玉案》）

    做学问，大抵都要经历这样的意境。不过，数学解题是“成本最低”的克服困难的学科。一个学生，如果没有经历过这样的意境，数学大概是学不好的了。

    （重庆市大渡口区实验小学 刘 凤老师推荐）