分数相等性质的数学内涵——兼及角的定义
分数有一个与自然数截然不同的特点：表示形式不再唯一。同一个分数可以有无限多种表示形式。 对此，我国的小学数学教材一向称之为“分数的基本性质”。我们是不是可以直接称之为“分数的相等性质”呢？这一性质的数学内涵又是什么呢？下面我们来做一点儿探讨。
小学五年级数学教材中一般都有这样的表述：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。 这叫作分数的基本性质。
【评论】为什么要把这个性质称为基本性质？“基本”在哪里？有什么好处？从来没有任何说明，只不过是一种习惯称呼而已。然而，如果改称“分数的相等性质”，直截了当地指出分数“相等”的特征，不是更好吗？
【建议】把分数的基本性质改称为“分数的相等性质 ”。
分数的这一“相等性质”，其数学价值在于揭示了“多元表示”和“等价类”的数学思想方法 。
在自然数领域，一个数只有一种表示形式。分数就不同了，一个分数有多种表示形式，而且有无限多种。我们“把同一个分数的所有不同表示形式，看成彼此相等的一个整体，就形成了一个‘等价类’”。
“等价类”一个重要的数学思想方法。它是“分类”数学方法的引申。分类之后，在同一类中的对象就具有某种等价性。这在后续课程中应用极其广泛。如：
●偶数是具有因数2的整数等价类。
●无理数是具有相同极限的有理数列的等价类。
●彼此全等但位置不同的三角形构成一个等价类。
●数论中的同余将整数分为若干个等价类。
“等价类”的数学方法，也存在于日常生活现象之中。对于五年级的学生，可以借助比喻，帮助他们理解“等价类”的含义（尽管不必出现这个名词）。试举两例：
一个人可以有很多套衣服。我们把某人穿不同衣服的形象，都看作是同一个人的不同表示形式，不同的表示形式因为本质上是同一个人而归为一类。不同的表示形式各有各的用处：上学穿校服，运动会上穿运动服，文艺表演穿演出服，出外旅行穿休闲服。这好像同一个分数有不同的表示形式，却各有各的用途。相同的分数，在进行加减运算实行通分的时候，也要使用不同的表示形式。一般地说，“等价类”中不同的表示形式各有各的价值。
一个学校可以用不同的人员作代表。校长可以看作是最简分数，但是还有许多不同的人可以代表学校：数学老师作为数学竞赛的领队可以代表学校，学生作为竞赛选手也可以代表学校，等等。
小学数学里蕴含的数学思想方法，应该注意提炼、揭示。 这属于“四基”的内容。如能将分数的相等性质作等价类处理，是一种推陈出新。
“等价类”的数学思想方法，在小学里可以推广使用。例如可以用于角的定义。下面来做一点儿分析研究。
平面上角的定义有三种：一是最原始而简单的做法，将角定义为“自一点出发的两条线段所形成的图形”；二是借助无限长的射线，将角定义为“从一点出发的两条射线所形成的区域”；三是动态定义，即用始边绕端点旋转到终边所形成的图形。
某教材上，二年级“角的认识”（如图 1）采用第一种定义；在四年级“角的度量”（如图2）中，则采用第二种定义。用射线定义角是否合理？值得讨论。
【评论】在二年级“角的认识 ”中 ，该教材用第一种方法定义角：
这样做，直观、可操作、易于使用，对于低年级的小学生是合适的。但是，到四年级上学期“角的度量”一节，该教材突然不加说明地采取第二种定义：
为什么要将用线段定义的角改为用射线来定义呢？教材没有交代，可能是为了增加严谨性。从表面上看来，似乎用射线形成了一个角的区域，避免用线段定义角时，两条边的长短不一样时所出现的认定上的麻烦。
但是，射线定义并不好理解。射线是画不出来的，只存在于想象之中。学生看到一个角，不可能也没有必要把一条边看作探照灯射出去的光加以理解。三角形、四边形中的角，都不便于用射线定义的方法来理解和验证。因此第二种定义，是故作高深之举，无助于角的理解。
至于用线段定义角，由于同一个角的两条边可以不一样长，因而出现了多种表示形式的麻烦。
【建议】鉴于前面分数的相等性质使用了“等价类”的思想方法，我们也可以用“角的相等性质”来消除这一缺陷：
如果画出的两个角有相同的顶点，两条边彼此重叠（但不必一样长），就认为这两个角是相等的。
通俗地说，角的大小决定于两条边张开的大小，和边的长短无关。这样的“等价类”数学思想方法，和分数相等性质的意义十分接近，可以彼此印证连接。分数的相等性质和角的相等性质，虽然内容完全不同，但是数学思想方法一样。我们要落实“四基”，这是一个重要的契机。
最后，要说到角的动态定义。动态定义能够区分角的内部和外部、正角和负角，进而与三角学的内容相衔接，具有现代数学的背景，值得重视。但儿童日常见到的、小学数学课程里碰到的角，往往不必或者难以分清哪一条边是始边，哪一条是终边。静态的角毕竟容易理解，所以现行教材都没有直接采用动态定义，是合理的选择。
不过到了四年级，角的动态定义也可以隐含地介绍。教材中的∠1、∠2，用弧线指出了角的内部，就是一种补充说明。依笔者之见，这里可以引入超过180°的角（即优角 ），只要用弧线标明就可以了。否则，少先队队旗上、五角星的内部都有超过180°的角出现，难道那不是角吗？
如果学生问起来，该如何应对？为了避免出现混淆，可以说明：自一点出发的两条线段所形成的图形，有两个角，内部的角和外部的角。如不特别说明，都是指小于180°的那个角。
（作者系华东师范大学教授 、 博士生导师 ，《普通 高中数学课程标准》研制组组长）
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