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《鸽巢原理》的教育价值及其实现

发布时间:2018-11-24 12:00 点击数: 【字体:

 
    人教版六年级下册“数学广角”之“鸽巢问题”,是教师们教学时感觉比较困惑的问题,由于目标定位不准,很多老师的教学仅仅停留在对“至少数=商+1”这个数学结论的获取,往往停留在抽屉原理模型建构的表面。到底学习这个内容的目的是什么?这个内容的教育价值是什么?值得深入探讨。
    我尝试采用以“创设情境,揭示课题——操作探究,建构模型——综合实践,应用模型——回顾反思,总结方法”这样的学习路径,重在引导学生初步了解数学思想,体验数学思考,培养逻辑思维能力;引导学生借助生活经验和直观活动建立鸽巢定律的一般化模型,增强应用意识,激发数学兴趣。
    为此,将教学目标细化为:
    1.引导学生经历“鸽巢问题”的抽象过程,初步了解“鸽巢原理”并用其解决相关生活中的简单问题。
    2.通过猜测、验证、观察、分析等数学活动,提高学生有根据有条理的进行思考和推理的能力。
    3.经历从具体到抽象的探究过程,建立数学模型,培养“模型思想”。
    4.灵活应用“鸽巢原理”,提高学生解决数学问题的能力和兴趣。
    下面,结合教学过程分析,探讨如何实现本课内容的教育价值。
 
    一、创设情境,揭示课题
 
    开课,多媒体演示“三桃杀两士”的成语故事。
    师:“同学们,你发现了悲剧必然会发生的原因吗?”
    【设计意图】教师通过问题,引发学生考:“三位勇士争分两个桃子,不论怎样,必然会存在有两人合争一个桃子”,因而悲剧必然产生。这样的设计在聚焦学生注意力的情况下,给了学生一个“抽屉原理”的生活原型,教师的导入语“你知道吗,晏子的故事里蕴含了一个数学知识——鸽巢原理”,让学生觉得“鸽巢原理”就在自己身边,有效提高了学生的学习兴趣。
 
    二、操作探究,构建模型
 
    环节一、经历“鸽巢问题”的抽象过程,提高学生“思考、推理”的能力
 
    活动:摆一摆
    【出示例1】把4支铅笔放进3个笔筒中,不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2支铅笔。
    师:猜猜,把4支铅笔放进3个笔筒中,不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2支铅笔,这个结论究竟是对是错?
    师 :别急着回答,先摆一摆,摆完后,再谈谈自己的看法。
    【学生操作学具】
    师:“把4支铅笔放进3个笔筒中”一共会有几种不同的方法呢?
    【板书四种摆法的图片(4,0,0 )(1,3,0)(2,2,0)(1,2,1)】
    【设计意图】通过操作,将抽象的结论具体化,学生获得了“把4支铅笔放进3个笔筒中”的所有情况,让学生获取了支持这个结论所有的实物图像表征,初步感受到这个结论的正确性。操作所获得的体验,为“说理”提供了有力的支撑。
 
    活动:说一说
    师:结合自己的摆放方式,说说为什么“把4支铅笔放进3个笔筒中,不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2支铅笔”。
    师:“总是”是什么意思?
    师:“至少”如何理解?
    【设计意图】抽屉原理的教学价值不在于让学生记住具体结论,而在于让学生经历探索结论的过程,因此教师以问题“猜猜,把4支铅笔放进3个笔筒中,不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2支铅笔,这个结论究竟是对是错?”为切入口,引领学生步入“证明”的世界。
    教学时,教师要求学生在表达自己的观点时,先说结论,再结合摆法说明理由,引导学生初步经历相对完整的“证明”过程,积累了“说理”的经验,培养学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。紧扣“总是”与“至少”的理解推进教学,引导学生在反复“说理”的过程中,用自己的语言表述出“在所有方法中,必然有一种存在的放法,在这种放法中,放入最多物体的那个抽屉里物体个数的最小限度”这个数学结论,凸显了本课的教学关键。
 
    活动:找一找
    师:你认为“总有一个笔筒里至少有2支铅笔”这个结论,与图几联系最紧密?为什么呢?哪种分发能最快找到结论?
    【设计意图】这个活动是全课的核心。在两个关联性很强的问题引领下,学生的思维越来越清晰:有了前面的数学活动基础,学生瞬间发现“总有一个笔筒里至少有2支铅笔”这个结论与(1,2,1)这种分法联系最紧密,究其原因学生们还会发现“(4,0,0)是运气最好的情况,其次是(1,3,0)(2,2,0),但是不具备普遍性,不能代表全部的情况,而(1,2,1)属于运气最差的情况,运气最差的情况下都能保证‘总有一个笔筒里至少有2支铅笔’,那么其余运气好的情况下,结果一定好过‘总有一个笔筒里至少有2支铅笔’这种情况,因此(1,2,1)这种分发得出的结论,可以代表所有情况,因此,我们只要采用平均分的方法,就能最快发现结论”。
    学生的话语足以表明,面对这样一个离散度很大的问题,他们寻求到了异于其他问题的思考方法和解决途径,能以比较极端的情况来思考,从最不利的角度入手,这样的问题设计,能让学生充分体会抽屉原理这一教学内容的独特思维特征。
 
    活动:试一试
    【出示练习题】
    有5只鸽子,飞进4个笼子,至少会有几只鸽子飞进同一个鸽笼,为什么?
    6个人,坐5把椅子,至少会有几个人坐同一把椅子,为什么?
    有8只鸽子,飞进6个笼子,至少会有几只鸽子飞进同一个鸽笼,为什么?
 
    环节二:经历从具体到抽象的探究过程,建立数学模型,培养“模型思想”
 
    活动:议一议
    【出示例2】把7本书放进3个抽屉,不管怎么放,总有有一个什么结果?
    小组合作,完成:
    1.把7本书放进3个抽屉,不管怎么放,总有一个什么结果?把你思考的结果在小组里进行交流。
    2.如果有8本、10本书呢?
    3.像这样的题目,有什么共同特点?如果让你举例,你还能举出相似的例子吗?
    4.你有什么发现,你能用一句话,或者一个算式,表示出你的发现吗?
 
    活动:理一理
    师生交流,分层梳理,引导学生用算式表达自己的思考过程。
    【板书】   至少数= 商+1 (或 商)
      7÷3=2…1           2+1=3
      8÷3=2…2           2+1=3
     10÷3=3…1           3+1=4
      9 ÷3=3                 3
 
    活动:看一看
    【多媒体】学生观看抽屉原理数学史
    【设计意图】在学生充分感悟的基础上,借助丰富的各类抽屉原理表象,以假设法为手段,在获取抽象思维经验的基础上,尝试由形象思维过度到抽象思维,引导学生将所获知识由语言表征转换为数学符号表征,指导学生经历具体问题“数学化”的过程,从而建构抽屉原理(鸽巢原理)的模型:把A个物体放入到N个抽屉中,如果A÷N=B……C(C≠0),那么总有一个抽屉有B+1(商+1)个物体,如果A÷N=B,那么总有一个抽屉中有B个物体。     
 
    三、综合实践,应用模型
 
    1.玩一玩
    【游戏】教师与学生玩扑克牌的游戏,将扑克牌分发给4个小组,每组5人。
    师:把52张牌发给5个同学,会有什么结果呢,谈谈想法?
    师:在这个游戏中,什么是“物体”?什么是“抽屉”呢?
 
    2.想一想
    师:“三桃杀两士”成语典故中,蕴含的抽屉原理什么是,你现在明白了吗?
 
    3.填一填
    (1)随意找13位小朋友,她们中间至少有(  )个小朋友属相,(  )是抽屉,(  )是物体。
    (2)六年级有385人,至少有(  )人在同一个月过生日,(  )是抽屉,(  )是物体;至少有(  )人在同一天过生日,(  )是抽屉,(  )是物体。
    【设计意图】应用上的广泛性和灵活性是抽屉原理的两大特点。习题的设计就是要考察学生面对一个具体的问题,能否用抽屉原理来解决,是否能将“具体情境”和抽屉原理的“一般模型”建立联系,是否能准确判断何为“物体”,何为“抽屉”。
 
    四、回顾反思,总结方法
 
    师:今天这节课,你都有那些收获?
    师:生活中隐藏着许多与抽屉原理相关的问题,我们在解决它的时候要注意什么?
    【设计意图】通过全课反思梳理,再次落实“从学生已有的生活经验出发;让学生经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”,学生获得对知识的理解,技能得以提升,在此基础上使数学思维能力、数学基本思想得到同步的发展,从而提升学生数学核心素养。
 
    为了有效实现本课内容的教育价值,我们反复实践以上教学过程。起初是努力在课堂上追求将例1、例2、例3全部呈现,因为我觉得这是这节课应该要给学生相对较为完整的鸽巢定律的“知识”,然而这样的“追求”,让我的课堂很“赶”,在教学时我会忽略学生学习的真实状况,使本课教育价值打上折扣。
    通过不断反思调整,我最后确定了以上方案,略去例3,只保留例1、例2。
    全课以“两桃杀三士”这个生动有趣的故事为切入点,引发学生浓厚的学习兴趣,之后自然过渡到例1的教学,并将教学重点放在“将4支铅笔放进3个笔筒,不管怎样放,总有一个笔筒中至少会有2支笔”这个结论是对是错的甄别判断上,通过观察和操作,帮助学生深入理解“不管怎样放”“至少”“总有”这些词语的数学含义,让学生尝试将生活问题转化为数学问题;通过“说理”与“证明”,帮助学生建立了“鸽巢定律”与生活实践之间的联系,引导学生深度经历“鸽巢定律”的探究过程,使学生受到数学思想的熏陶。
    在例1的基础上,通过例2的教学,进一步把实际问题“模型化”,并应用“鸽巢定律”的模型加以解决,孩子们通过寻找“相似的生活实例”及“扑克魔术大揭秘”的活动,在分析和对比中完善丰富了“鸽巢定律”的认识,使学生的分析、推理、解决问题的能力得到有效培养,学生在感受到数学的魅力同时,促进了逻辑思维能力的发展,培养了学生探索数学问题的兴趣,获得了数学思想方法上的熏陶。
 
 
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