＂让圆滚起来＂——发展学生高等级能力的教学设计
让圆滚起来
——基于圆的周长和面积发展学生高等级能力的教学设计
写在前面：
在一次六年级的数学测试中，试题里有不同层次的关于圆周长和面积的题目。有的题目根据相关的已知条件求圆的周长和面积，通过率在95％以上。
但是，当遇到“圆滚动起来”的问题，比如，“在长12厘米、宽10厘米的长方形内，有一个半径为2厘米的圆，沿这个长方形内壁无滑动地滚动一周，圆心经过的路程是多少，圆扫过的面积是多少”，此题通过率不到65％。
数据告诉我们，学生在基本技能上已经达到相当高的熟练程度和正确水平，但是在高等级能力上，同样是指向“圆的周长和面积”，从静态到动态，就存在较大的差异。
然而，据笔者观察，教师在复习或者练习圆周长和面积时，首先想到的还是那些正确率已经很高的问题形式。
因此，笔者尝试设计一节练习课，力图突出对学生空间观念和推理能力的培养，唤起大家致力构建能力为重的数学课堂的共鸣。
教学内容：
六年级学习了圆的周长和面积后的拓展课程。
教学目标：
1.在动态变化中感知圆在滚动的过程中圆心经过的路线，并能进行正确计算。
2.圆绕着多个封闭图形滚动，探索圆心经过路线长度与封闭图形周长、圆周长之间的关系，培养空间观念和概括能力。
3.经历解决综合问题的过程，尝试解决滚动的圆扫过的面积，进一步提升综合解决问题的能力，在富有挑战的问题中激发探索兴趣。
教学过程：
1.基于低起点，巩固基本技能
已知圆的半径是2厘米，求圆的周长和面积。（π≈3.14）
学生自主解答：C=2πr=2×π×2=4π≈12.56（厘米）， S=πr2=4π≈12.56 （平方厘米）。
（设计意图：在班级授课制的环境下，数学学习要让每一个孩子的学习机会和学习能力得到保障，在设计一些巩固练习题时，还是要做保底设计，让每一个孩子在最基础的知识和能力上得到锻炼和巩固。）
2.动态变化，圆在直线上滚动
（1） 圆在直线上滚动一周，求圆心经过的路线长度和圆扫过的面积。
教师出示学习任务后，不急于演示圆的滚动，而是先让学生进行表象思考，尝试解决。学生尝试在作业纸上画一画，或用实物模拟操作，思考圆滚动一周，圆心经过的路线是怎样的，圆扫过的部分是怎样的。
（2）计算圆心经过的路线和长度。（图1）
学生尝试计算（已知r=2厘米）：
C=2πr=2×π×2=4π≈12.56（厘米）。
从计算结果和思考过程中得到启发：圆心经过的路线就是圆的周长。
（3） 计算圆扫过的面积。
学习的出错点：
（1）因为前一题在“圆滚动一周”的理解上存在偏差（图2） , 所以在解决圆扫过的面积时，自然也就错了。
（2）正确地理解了“圆滚动一周”（图3），但只计算了长方形部分，忘记了前后两个半圆。
教学时，先分析矫正有偏差的作业，再呈现正确的解答：滚动的面积等于两个半圆的面积加上一个长方形的面积。长方形的长相当于圆的周长，宽相当于圆的直径。正确结果为：
S=22π+4π×4=20π≈62.8（平方厘米）。
（设计意图：教学时，倡导两个“先不”。先不“直观演示”，如果一开始就直观地演示，看似更高效地解决了问题，却弱化了学生思维的发生和发展；先不“分析正解”，让理解有偏差、计算有差错的学生先汇报，看似讲评作业有错误的个体，其实是矫正了“潜伏”在课堂中有同类问题的群体，看似破坏了课堂的“精致度”，实质上增强了学生的“参与度”。以学生为本的课堂，应该更多地关注学生实际的增长量和获得感。）
3.尝试挑战，圆绕着正方形外面滚动一周，求圆心经过的路线长度
（1）教学组织：出示图4，请学生先描出圆心经过的路线示意图，再计算解答。
（2）难点分析：
①贴边滚，当圆滚动到正方形顶点处时，绕顶点旋转90度，然后继续贴边滚动。所以，在四个顶点处，圆心经过的路线不是直线，而是一段圆弧。
②4个顶点处的4段圆弧对应的圆心角都是90度，总和为360度，刚好组成一个圆，该圆的半径就是滚动圆的半径。
教学时，还是坚持先让学生尝试画出圆心经过的路线示意图，鼓励学生思考后猜想圆心经过的路线是图5还是图6，再进行精准计算。
教学时，学生可能对演示不能确信，应为其提供学具支持，给有需要的小组准备圆心镂空的透明圆片，便于学生在操作时用铅笔描绘圆滚动时经过的轨迹，使操作过程可视化。
最后讨论得出：圆心经过的路程=4×6+2πr=24+4π。
（设计意图：与圆在直线上滚动不同，绕正方形滚动的难点在于四个顶点处。如果说与原来图形相平行的点的轨迹可以看作点的平移，那么到了顶点处，点的轨迹就改变为另一种运动方式——旋转。而恰是在同一个情境中，运动方式的变换考验了学生的空间想象和综合运用知识的能力。）
4.自主合作，探索规律:圆绕长方形、三角形、圆外面滚动一周，求圆心经过路线的长度
教学时，先组织学生独立思考，圆绕三个图形滚动一周，圆心经过的路线分别是怎样的，画出示意图，逐个尝试解决并计算结果。
在独立思考的基础上，组织小组合作讨论。为每一个小组提供学具，用于操作验证。小组分工：前三位学生各说一种情形，第四位学生说发现的规律。思考：圆在平面图形外面滚动一周，圆心经过的路程与封闭图形周长、圆周长之间有什么关系？
（1）讨论圆绕长方形滚动一周。
有了前面圆绕着正方形滚动的经验，圆绕着长方形滚动只是情节和数据的变化，学生能比较顺利地解决。（图10）圆心经过的路程=（4+6）×2+2πr=20+4π。
（2）讨论圆绕三角形滚动一周。
解决了圆绕着长方形和正方形滚动一周的问题后，学生已经积累了一定的活动经验，对与三角形各边平行的路线基本没有问题，只有少数学生认为绕顶点滚动的部分还是直线，如图11。
绝大部分学生已经感知到绕顶点滚动的部分是旋转而成的弧线，但是对于绕三个顶点旋转而成的弧线能否正好组成一个圆，还不能确定。有多位学生认为是圆的3/4，如图12。
教学时，对于图11这样的错误，有了同伴的提醒，学生很容易顿悟。但是对于图12这样的错误，需要经过严密的推理才能使学生确信。集体讨论时，有学生凭直觉猜测圆心在三个顶点处旋转而成的圆弧正好组成一个圆。教师及时追问理由。
学生表述理由：因为等边三角形的一个内角是60度，周角为360度，减去一个内角，再减去两个直角，一个顶点圆弧所对应的内角就是120度，3个120度的和就是360度，也就是一个圆。（图13）
教师再追问：如果是一般三角形呢？
学生表述理由：因为外角和都是360度。（图14）
说的学生认为“说清楚了”，听的学生不一定理解，因为三个顶点圆弧所对应的内角并非三角形的三个外角。但是从计算角度可以发现，从贴边滚到绕顶点旋转，共产生2个直角，以顶点为圆心的周角减去2个直角，就是180度。
也就是说，三角形的一个内角与顶点圆弧对应的圆心角的度数和为180度。所以，各顶点圆弧所对应的圆心角度数与三角形的一个外角相等。
更为一般的解释是：三个顶点所在的三个周角度数和为3×360度，减去三角形的内角和180度，再减去每一个顶点处的两个直角即3×2×90度，剩下360度，刚好是一个周角。所以，三个顶点所对应的圆弧就是一个完整的圆。
从而得出正确的解答：圆心经过的路程=5×3+2πr=15+4π。
（设计意图：步步紧逼的追问历练了学生严密的思维，不仅要看得出结果，还要说得出理由，不仅要说得出特殊情况的结果，还要解释得了一般情形的原由，知其然还要知其所以然。语言是思维的外衣，强化理由的表述，就是在提高学生思维的缜密性。）
（3）讨论圆绕着圆滚动一周。
有了前面经验的积累，圆绕圆滚动的问题变得简单了。学生通常的做法是：把圆绕着圆周旋转的路线看成一个圆 (图15)，半径是4，周长为8π。
（4）讨论发现规律。
结合表1，罗列圆绕着不同图形滚动的数据，概括圆心经过路线的规律，得到结论：圆心经过的路程=封闭图形周长+动圆周长。
教师反问：刚才圆绕圆滚动的时候，我们可不是按照这个思路计算的，它也符合这个规律吗？
组织学生验证：圆心经过的路程=2πr+2πr=4π+4π=8π。
（设计意图：数学学习的过程中要处理好特殊和一般的关系。有的是从特殊入手，从多个特殊的现象中概括出一般规律：有的是先得出一般规律，再应用到特殊的情形中。圆绕着圆滚动的情况特殊，但也符合一般规律，这样的经验积累有助于学生体会规律的普适性。）
5.方法迁移，类比探索，研究圆滚动的过程中，圆扫过面积的规律 （图7—图9）
教学中，学生对于贴边滚的情况比较容易理解，可以想象出将扫过的部分拼成一个大长方形，长是原来图形的周长，宽是滚动的圆的直径：绕圆滚的情况也不难理解，扫过部分为一个圆环。
难点还是在顶点处，圆旋转的部分合并在一起也是一个圆，但对于拼成的圆的半径是滚动的圆的直径，学生不易理解。
因为有过“圆心经过路线”的探究活动经验，在探讨“圆扫过部分面积”的活动中，教学“转扶为放”，让学生自主探索，合作讨论。
图7：圆扫过的面积=（4+6）×2×4+πR2=80+16π（图16）
图8：圆扫过的面积=5×3×4+πR2=60+16π（图17）
图9：圆扫过的面积=πR2-πr2=36π-4π=32π（图18）
将多种情形的数据罗列在表2中，引导学生发现规律：圆扫过面积=圆心经过路程×圆的直径。
进一步引发学生思考：为什么会有这样的规律呢？启发学生想象：圆绕着图形滚动的过程，扫过部分的面积相当于由一条直径沿圆心经过的路线平移和旋转而成。
（设计意图：表2的栏目一旦明确就会具有某种暗示性，所以在讨论的过程中，第三栏可先空缺，引导学生自己去发现、补全。当学生基于不完全归纳总结出规律，要引导学生尝试从原理上解释说明。归纳推理和演绎推理双管齐下，着力培养学生探索规律和数学推理的能力。）
6.课堂小结，分享心得。
教师结合表3内容引导学生回顾和自我反思。
（设计意图：课堂反思环节，如果教师只是生硬地询问“你有什么收获”，学生往往难以表述清楚。本课尝试设计一个表格式的反思单，为学生整体回顾和反思提供了脚手架，引导学生在反思中学会反思。）
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