“蚂蚁爬行最短路线问题”教学尝试与思考
转换维度，让空间观念自然形成
——“蚂蚁爬行最短路线问题”教学尝试与思考
空间观念是学生在小学阶段应形成的重要学科核心素养。发展学生的空间观念，最重要的是要有充满智慧与挑战的学习载体。
而指向空间观念发展的学习载体除了教材中固有的学习内容，还需要教师自主开发学习资源，设计核心学习活动。
下面，我以自主开发的“蚂蚁爬行最短路线问题”的教学尝试与思考为例，分析教学时如何帮助学生在问题解决中转换空间维，以助力空间观念自然形成。
【片断一】情境引入，提出问题
师：有一个正方体纸盒（下图），一只小蚂蚁想在纸盒外表面从A点爬到P点。小蚂蚁可以在纸盒外表面的每个面爬行。看到这幅情景图，你最想研究什么问题？
生：小蚂蚁怎样从A点爬到P点？
生：小蚂蚁从A点爬到P点有哪些爬行路线？
生：小蚂蚁怎样爬行能使路线相对短一些？
生：有没有最短的爬行路线？
师：大家提出了这么多问题，很有意思，也很有价值。这节课，我们就来一起研究——蚂蚁爬行路线问题。
（分析与思考：纯数学化的趣味情境为学生创设了一个“问题场”，以正方体为研究对象， 以蚂蚁从一点爬行到另一点为研究内容，在明确爬行规则的基础上，启发学生自主发现和提出想要研究的爬行路线问题。
问题能够引领学生的数学学习，学生自己提出的问题能促使其产生迫切想要研究和解决的兴趣与欲望，既培养了学生的问题意识，又为接下来的问题解决做好准备。）
【片断二】尝试路径, 对比论证
师：我们先来研究第一个问题，你觉得小蚂蚁可以怎样从A点爬到P点？能不能试着先给出一条路线？
生：从A点沿直线爬到N点，再由N点沿直线爬到P点（下图）。
【生一边说，师一边板书：（1）A→N→P】
师：按照他的描述验证一下， 这条路线可行吗？
生（众）：可行。
师：还有没有不同的路线？
生：从A点沿直线爬到B点，由B点沿直线爬到C点，再由C点沿直线爬到P点（下图）。
【师板书：（2）A→B→C→P】
师：这两条路线都可以帮助小蚂蚁从A点爬到P点，相比之下哪一条路线更短？请说一说理由。
生：我认为路线（1）更短。因为路线（2）都沿着正方体的棱爬行，而路线（1）是先沿着正方体的面、后沿着棱爬行的。
师：为什么先沿着正方体的面、后沿着棱爬行更短一些？
生：我感觉是。 说理
师：学习数学时，“感觉”是一件很重要的事，但感觉不一定都是对的, 有时它可能是一种错觉。能不能试着解释一下为什么路线（1）更短？
生：我是这么认为的，路线（2）沿着棱走，走了3条线段AB—BC—CP，而路线（1）先沿面再沿棱走，只走了2条线段AN—NP，所以路线（1）更短。
生：走2条线段就一定比走3条线段的路线短吗？我还是不太明白。
生：我来解释一下。大家看路线（1）的长度是AN+NP，也就是正方体一个面的对角线和一条棱长，而路线（2）的长度是AB+BC+CP，也就是3条棱长。各自抵消其中一条棱长后，我们只要比较路线（1）中的AN和路线（2）中的AB+BC的长度就可以了。而AB+BC的长度一定比对角线AN长。大家觉得呢？
（有人点头，有人迟疑）
生：我同意你的想法，我再进一步来说明一下。AB和BC在底面，而AN在前面，不太好比。因为BN和BC都是棱，所以AB+BC的长度就是AB+BN的长度。在三角形ABN中，AB+BN的长度一定大于AN的长度（下图）。
生（众）：对。
生：我还有补充，AN的长度肯定比AB+BN短，因为两点之间线段最短，所以还是路线（1）更短。
师：你们的讨论特别精彩!数学学习是讲道理的，有时为了说明一个结论，我们需要不断应用以前学过的知识加以论证和解释。
（分析与思考：在初步聚焦爬行路线的问题时，“能不能试着先给出一条路线”引导学生个体对问题进行思考，尝试自主探究爬行路线。
学生提出的爬行路线促使他们描述、想象、验证是否可行，同时在对两条典型路线“哪条更短”的比较中，应用已有的知识经验如“三角形三边关系”“两点之间线段最短”等进行对比论证。
在此过程中，学生需要转换空间，将研究对象转换到一个平面进行解释、说明，在积累想象的思维经验、发展空间观念的同时，培养数学论证的理性思维。）
【片断三】转换维度, 解决问题
师：除了上述探讨的路线，小蚂蚁还有其他相对短一些的爬行路线吗？
生：A→C→P。
生：A→Q→P。
生：A→D→P。
生：A→B→P。
生：A→M→P。
师：这些路线有什么共同点？
生：一样长，都是爬了一条对角线加一条棱的长度。
师：这样的路线是不是小蚂蚁爬行的最短路线呢？
生：我想利用两点之间线段最短来寻找最短路线，可是又不能直接联结A点和P点，因为小蚂蚁要沿着正方体外表面爬。如果A点和P点在一个面上就好了。
生：可以把正方体纸盒展开，展开后A点和P点就可以在同一个平面上了。
师：好想法!请你想象着把正方体纸盒展开，画出展开图，并帮助小蚂蚁找出一条最短路线。
生：将正方体纸盒打开平铺，这时P点和A点在同一个平面上，联结AP与棱相交于一点R，根据两点之间线段最短，可知ARP这条路线最短。你们同意吗？
生：我觉得你表达得特别清楚。我画的展开图形状和你一样，只不过展开后的P点位置与你不同，因此画出的最短路线AP的位置也不同（下图）。
生：这两种画法都可以，因为正方体展开后，原来P点的位置在展开图中既可以在上面，也可以在右边。
生：这个路线真的是最短的吗？
生：是最短的，因为A和P两点之间线段最短。
生：我们也可以借助三角形三边关系来说明。以第一幅展开图为例，从A点随意先到棱MN上R之外的其他一点，再到P点的路线一定比ARP长。
师：特别好。其实，我们还可以从运动的角度来解释数学问题。（课件演示R′沿着棱MN从M点运动到N点的过程，直观感受线段AP最短）
师：从展开图上看，R′运动到与R点重合时，线段ARP最短。可这是在展开图上，如果在正方体纸盒上该怎么画呢？
生：只要想象着把展开图还原回去，把MNPQ这个面折回上面，那么最短路线就是A→R→P。
生：可是，R点到底在棱MN的哪个位置呢？
生：我感觉R应该是在棱MN的中点。
生：对，我认为R就是MN的中点。因为在展开图中，ABPQ是一个长方形，AP相当于长方形的对角线，M和N都是两条长边的中点，所以R肯定也是MN的中点。
师：请在纸盒外表面，把展开图中的最短路线画出来。（学生画出正方体上的最短路线）
（分析与思考：在探讨路线的基础上，启发学生思考寻找最短路线的问题。由于A点和P点不在同一平面内，对学生解决问题形成认知障碍。通过学生相互交流、启发，借助“两点之间线段最短”的知识经验，寻求将正方体纸盒展开成平面图形，在立体图形与平面图形之间转换维度，基于想象、操作寻找点、面、线在二维和三维空间中的位置对应关系，这是培养空间观念的核心活动。
在论证线段“ARP是否最短”的过程中，通过课件演示R′沿着棱MN从M点运动到N点的过程，帮助学生直观感受线段ARP最短。同时启发学生把展开图还原回去，进而思考R点的位置问题，最终在立体图形中画出最短路线。
在整个过程中，学生不断经历空间转换，不断思考图形要素之间的位置对应关系，在这些核心思维活动中不断培养空间想象力，形成空间观念。）
【片断四】运用经验, 发散思维
师：你还能想到其他的最短路线吗？可以借助文字、字母、图等方式表示出来。
生：从A点沿直线爬到QD中点，再由QD中点沿直线爬到P点。
生：A→MQ中点→P。
生：A→DC中点→P。
生：A→BC中点→P。
师：怎样画能使小蚂蚁从A点到P点的爬行路线最短？
生：只要让小蚂蚁从A点开始沿直线连续爬行两个相邻的面就可以。
生：先从A点沿直线爬到两个面相交的棱的中点，再从中点沿直线爬到P点就可以了。
师：为什么要沿直线连续爬行两个相邻的面？
生：因为两个相邻的面展开后在同一个平面上，联结AP就能保证两点之间线段最短。
（分析与思考：解决问题的思维路径不止一种，顺着问题解决的思维经验拾级而上，在正方体表面寻找更多的最短路线，并用自己喜欢的方式表示、记录、交流和反思，进而形成新的经验。学生在思考其他最短路线的过程中，依旧需要不断在头脑中进行想象，寻求图形面、棱、顶点之间的位置对应关系，在促进空间观念的同时发展多角度观察思考的高阶思维。）
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