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让数学理性精神根植于儿童内心——"2、3、5的倍数的特征"巩固

发布时间:2019-06-11 21:10 点击数: 【字体:

 
    【摘要】数学具有严谨的逻辑结构,是一门讲道理的学科,数学公式或定理的背后都有其科学的规定性。数学教育应促使学生通过数学学习学会思维,不仅让学生掌握基本知识,还应该让学生在自主探究的过程中,带着理性思考主动理解知识的本质之理,这也是数学教学对学生理性精神养成的价值之所在。 
    【关键词】说理 探究活动 理性精神
    【教学内容】
    人教版《数学》五年级下册第13页“你知道吗”。
    【教学目标】 
    1.通过质疑——举例——说理——推理,探索解决“为什么判断2或5的倍数只要看个位数,而判断3的倍数要看各数位上数的和”这一问题,明白规律背后的道理。 
    2.在自主探究、小组合作、交流互动中,积累数学活动经验,发展推理能力,渗透抽象、推理、建模等数学思想。 
    3.激起对数学知识本质的探究欲望,感受数学学习的价值。
 
    【教学过程】
 
    一、回顾旧知,提出问题 
    师:我们已经学过2、3、5的倍数的特征,怎么判断一个数是不是5的倍数?
    生:看它的个位上是不是0或5。 
    师:怎么判断一个数是不是3的倍数? 
    生:将所有数位上的数相加,看看和是不是3的倍数。 
    师:5的倍数只看个位数,3的倍数要看各数位上数的和。有困惑或新的问题产生吗? 
    生:为什么5的倍数只要看个位就行了,而3的倍数要看全部数位? 
    师:这个问题提得好吗?好在哪里? 
    生:他把3和5的倍数的判断方法作了比较。 
    师:今天的学习就从你们提出的问题开始。 
 
    (设计意图:“疑是思之始。”通过唤醒2、3、5的倍数的特征,引导学生在旧知中产生新的困惑,在质疑中学会追问数学知识深处的道理,培养学生的质疑精神。) 
 
    二、合作探究,明晰5、2的倍数特征之“理”
 
    1.思考交流,寻求探究方法 
    出示:为什么判断一个数是不是5的倍数只要看个位,其他数位都不用看?
    师:先独立思考,再同桌交流。 
    生:偶数个5相加个位是0,奇数个5相加个位是5,自然数能分成两类,一类是奇数,一类是偶数,所以5的倍数末尾一定是0或5。 
    生:我和我的同桌有一种想法,就是一个奇数乘5,它的个位一定是5;一个偶数乘5,它的个位一定是0。 
    生:或许是因为十位、百位、千位、万位等数位都是由个位进过来的,所以只需看个位。 
    师:“或许”是什么意思? 
    生:我也不知道这个想法对不对,只是可能性猜测。 
    师:虽然不确定,但勇于把自己的想法说出来,值得表扬! 
    生:我有补充,如果去掉个位的话,末尾就是0,末尾为0的数一定是5的倍数,所以只要看个位是不是5的倍数就行了。 
    师:谁听懂了他的想法? 
    生:他的意思是,不管多大的一个数,减去个位余下的数一定是整十数,再加个位上的5或者0,这样的数肯定是5的倍数。 
 
    (设计意图:尊重学生,给学生充足的时间和空间,让其借助已有的知识经验来说理,学生的认知会逐渐逼近知识背后的本质。) 
 
    2.借物析理,理解5的倍数特征 
    师:我们一起来理解他所说的。(在十位上写1,如下)这里的“1”是5的倍数吗?(是)“1” 怎么会是5的倍数呢?


 
    生:因为这个“1”在十位上,代表10,10是5 的倍数。 
    (课件展示10个珠子5个5个地分,刚好分完) 
    师:(在计数器的十位上拨3)是不是5的倍数?(是)为什么? 
    生:因为它表示3个十,1个十是5的倍数,3个十也是5的倍数。 
    师:(将计数器藏在桌底下)我在十位上任意拨,还是不是5的倍数?(是)你们没看到,怎么还能肯定? 
    生:因为每个十都是由两个5组成的,无论几个十都是5的倍数。 
    师:我在百位上拨,还是5的倍数吗?(是)为什么? 
    生:100里面有10个十,它也是5的倍数,百位表示有几个百,不管几个百都是5的倍数。 
    师:猜猜接下来我会在哪一位上拨。 
    生:千位。
    师:对不起,你们都猜错了。我为什么不 在千位上拨了? 
    生:因为千位跟百位、十位都一样。 
    师:(将计数器藏在桌底下)我在个位上拨,还是5的倍数吗? 
    生:不确定。 
    师:现在为什么不确定? 
    生:假如你拨了1个,就不是5的倍数;在个位拨5,才是5的倍数。 
    生:现在我明白为什么判断一个数是不是5的倍数只需看个位,其他数位不用看的道理了。 
 
    (设计意图:推理是重要的数学思想方法, 对小学生来说,演绎推理是比较难理解的。为了让学生准确把握“判断5的倍数只要看个位而其他数位不用看”的道理,教师巧借计数器,让学生关注数的位值制,在思考和辩论中明晰道理。) 
 
    3.类比迁移,联通2的倍数特征 
    师:想想看,谁和5的道理是一样的? 
    生:2。先看十位,10里面有5个2;再看百位,100里面有50个2;千位,1000里面有500 个2;个位的话,不拨或者拨2个、4个、6个、8 个才是2的倍数,其他都不是2的倍数。 
    生:我也认为是2。其他位不管是多少,都是整十、整百、整千,都是2的倍数,所以只要看个位就可以了。
 
    (设计意图:数学活动经验的积累要在过程中实现,只有经历问题解决的过程,才能体会到数学思想的精髓。学生迁移已有的探究5的倍数特征的经验,借助举例、说理等方式,自主理解了2的倍数特征的道理。) 
 
    三、拓展延伸,理解3的倍数特征之“理” 
 
    1.交流反思,内化经验 
    师:5、2的道理都明白了,那么3呢?为什么不能只看个位? 
    生1:因为3的倍数的个位是不确定的,可能是0,也可能是1、2、3……所以不能只看个位,得总体来看。 
    师:为什么个位不确定?为什么要总体来看呢? 
    生2:因为十不能被3整除。 
    师:(对生1)他说的和你说的有什么不一样? 
    生1:他是从十的角度来考虑的,因为十可以组成百、千、万等。 
    师:他懂得从十考虑,你怎么没想到? 
    生1:大概是我没反应过来吧,没结合2和5的经验,所以我以后考虑问题要全面。 
 
    (设计意图:及时的反思能够促进学生经验的提升。让学生从过程中反思自己的优点和不足,学会鉴别和欣赏他人思考问题的独到之处,从而内化为自己的活动经验,促进理性思维。) 
 
    2.举例探究,层层析理 
    师:接下来聚焦今天的第二个问题,为什么判断一个数是不是3的倍数要看各数位上数的和?你们打算自己研究还是由老师告诉你们? 
    生:自己研究。 
    师:你准备怎么研究? 
    生:举例子,分一分…… 
    师:取出探究单,先独立思考,再同桌商量,最后小组交换意见。 
    生:我举个例子,比如说12,我们先把10 拆分下来,用10除以3余下了1,这个1再与个位上的2合起来就是3,这个3可以被3整除,所以12是3的倍数。 
    师:一起来看,1加2的1表示什么?这个 1是哪里来的? 
    生:是10除以3之后余下来的1。12分成10和2,把10个珠子3个3个地分,余下1个。 
    师:为什么要加2? 
    生:因为可以转到个位上来。 
    生:因为个位上有个2,再加余下来的1,又可以凑起来。 
    师:那么,22我们怎么判断? 
    生:首先把22里的20分成两个10,一个10除以3后会余下一个1,余下的两个1加上个位的2等于4,4不能被3整除,所以22不是3 的倍数。
    师:42呢? 
    生: 4个10就会余下4个1,加上个位上的2,等于6,6可以被3整除,所以42是3的倍数。 
    生:我想补充一下,4个10能分成4个9加4。9是能被3整除的,所以4乘9肯定能被3整除。余下来的4加上末位的2等于6,6也能被3整除。 
    师:我有一个疑问,1个10余1,2个10余 2,3个10会余3吗?这个3不是还可以分吗? 
    生:现在先不分,把它留到最后分。 
    师:所以你一直强调—— 
    生:把它分成4个9余4。 
    师:通过刚才的讨论,我们又有了新的认识,要不要试个大一点的数?比如142,该怎么判断? 
    生:因为100除以3,除不尽,有余数——(停顿思考) 
    师:想一想,“142”里的这个1与底下的“1+4+2”的1一样吗? 
    生:不一样。 
    师:有什么不一样? 
    生:上面的1表示的是1个百,下面的1表示的是余下来的1。 
    生:1个百3个3个地分,分了99个,还余1个。 
    师:这里的4呢? 
    生:1个十3个3个地分,余1个,4个十就 余4。
    师:那你明白1+4+2的道理了吗? 
    生:就是1个百3个3个分余1,4个十3个 3个分余4,把余下来的1、 4还有个位的2合起来再分,如果能分完就是3的倍数,如果不能分完就不是3的倍数。 
 
    3.抽象提升 
    师:(板书 -abc)怎么判断这个数是不是3 的倍数? 
    生:先算a除以3等于多少,看它余下来多少;再算b除以3等于多少,余下来多少;最后看c除以3等于多少,余下来多少。 
    生:这里的a表示的是a个百,3个3个分 余下来的就是a,b表示的是b个十,3个3个分余下来的就是b,把a+b+c的结果再3个3个分,就可以知道 -abc是不是3的倍数了。 
 
    (设计意图:学生理解5、2的倍数特征的道理后,在探究3的倍数特征时,已经有研究经验和研究方法做支撑,探究就变得有道可循了。但是,3的倍数特征的道理相对来说更难理解,为此在学生合作探究和互动交流中,教师要适时给予引导和追问,促使学生的思维走向深入,逐步明晰“为什么3的倍数要看各数 位上数的和”的道理。最后借助符号总结归纳,完成论证推理过程。) 
 
     四、回顾反思,总结收获 
 
    师:今天的数学课和平时有什么不一样? 
    生:以前的数学课上没彻底明白为什么是 这样,今天明白了。 
    生:我觉得平时上数学课,老师直接教我们方法,这节课我们是寻找为什么要这样做。刨根问底,总结方法。 …… 
 
    (设计意图:通过对这节课的回顾,让学生在总结中感悟数学学习需要追根究底,体会方法背后的道理;感受数学学习的本质,培养数学理性精神。)
 
 
    【课后思考】
 
    数学是一门逻辑性与思考性很强的学科, 数学课堂教学可以、也应该给学生呈现“讲理”的一面,以理性的力量去感染学生,引领学生在朴素的数学学习中,伴随着数学知识发生与发展的过程静心思考是什么、为什么这样、应该怎么做、 还可以怎么做。在一次次的数学思维活动中,引导学生深入数学的本质,将学习指向推理能力的发展,指向数学的精神、思想与方法的领悟。 
 
    1.质疑精神,从知识深处发现问题
    2、5、3的倍数的特征是已经学过的知识, 学生将这些特征背得滚瓜烂熟,对为什么这样判断却知之甚少,也未曾想过去追问特征背后的道理。 
    课堂上,面对学生胸有成竹的回答,教师追问“关 于2、5、3的倍数的特征,你有新的问题吗”,促使学生重新审视已有的数学知识,引发质疑:“为什 么2或5的倍数只要看个位,3的倍数却要看各个数位? ”让学生对已有的知识结论产生质疑,从知识深处发现问题,是培养学生理性精神的一个重要方面。学生提出问题后,教师追问:“这个问题好吗?好在哪里? ”进一步明晰提出这个问题的价值所在,体会发现问题的重要性。 
 
    2.理性精神,在探究活动中深化 
    数学学习如果只是掌握了知识结论,没有掌握探索知识的方法和培养探究精神,那么充其量只是一种记忆和复制。因此,本节课的教学更多定位在过程性的目标上。在“为什么判断2或5的倍数只要看个位数,而判断3的倍数要看各位 上数的和”这一问题的引领下,学生不断叩问自己“该怎么去研究”。
    由于演绎推理对小学生来说具有一定的难度,学生采用“质疑—举例—说理”的方法时,还无法准确表达自己的推理过程。此时,教师借助计数器和课件,让抽象的推理变为直观的演示,帮助学生深刻理解5的倍数特征的道理。
    有了这个基础,在探究3的倍数特征的道理时,教师询问“是你们自己研究还是由老师告诉你们”,学生毫不犹豫地选择了自己探究,说明学生对探究数学知识之理产生了极大的兴趣。
    学生通过独立思考、合作交流、举例分析等多种方式进行推理论证,逐步明晰判断3的倍数的方法所蕴含的道理,积累了探索这类数学问题的活动经验,也感受到数学理性精神的魅力。 
 
    郑毓信教授提出,数学课中我们所希望看到的是学生能养成一种新的精神,它并非与生俱来,而是后天养成的理性精神。数学教育主要应当促使学生更为积极地进行思考,并能通过数学学习学会思维,特别是能逐步学会想得更深、更合 理、更清晰、更全面。
    数学学习不仅应该让学生掌握基本知识,还应该让学生在自主探究中带着 理性思考主动理解知识的本质之理,这也是数学教学对学生理性精神养成的价值之所在。

 
 
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