一、缘起一个疑问

    小学数学学习中，乘法运算包括整数乘法运算、小数乘法运算和分数乘法运算。在对这三类乘法运算的算理进行探究时，人教版教材使用的研究载体并不一致，具体如下。

 

    1.整数乘法算理探究渗透了面积模型

    三年级下册“两位数乘两位数”教材设计如图所示，体现了解决问题方法的多样性。小亮的方法是将两位数乘两位数转化为两次两位数乘一位数来计算；小红的方法与竖式计算的算理相对应，为后续学生理解竖式计算的算理和算法作铺垫。

 

    仔细分析可以发现，用点子图作为研究载体实则蕴含了面积模型，从教材的课后练习设计中可以更加清晰地看到这一特点。

 

    2.小数乘法算理探究运用了积的变化规律

    五年级上册“小数乘法”教材设计如图所示，运用了积的变化规律，将小数乘法转化为整数乘法来计算，然后根据因数扩大的情况将所得的积缩小，从而得到正确结果。

 

    3.分数乘法算理探究运用了面积模型

    六年级上册“分数乘法”教材设计如图所示，用面积模型对分数乘法中产生的新的分数单位及其数量作了直观化解释。分数单位是分数运算中的计数单位，而计数单位是算理探究过程中要重点关注的核心要素。对比发现，整数乘法和分数乘法算理探究所用的载体是一致的，小数乘法算理探究与这两者并不一致。于是，笔者产生了一个疑问：小数乘法算理的探究也用面积模型，可行吗？

 

    二、尝试两条路径

    基于这样的疑问，在探究小数乘法算理时，笔者尝试了面积模型和其他转化方法两条路径并行的思路，设计了如下“学习单”（图）：

 

    1.运用面积模型探究

    学习单第（1）题的探究路径既遵循了转化思想中的直观化原则，也遵循了熟悉化原则。因为这种方法本身具有直观性，同时它又延续了整数乘法的算理探究路径，对学生来说具备一定的认知基础。借助面积模型探究，实际上是对封面的面积作一次度量意义的分析。学生的探索过程也证实了笔者的预想：如图，很多学生借助图形解决了问题，并深刻体会到“1dmx0.1dm”得到新的计量单位“0.1dm²”，“0.1dmx0.1dm”得到新的计量单位“0.01dm2”，这也是对小数意义认识的一次深化。在数的运算中，算理和算法的理解最终都可追溯至数的意义，同样具有一致性。

 

    2.运用其他转化方法探究

    学习单第（2）题，学生经过尝试呈现了多种思路，如图所示。这是遵循了转化思想中的熟悉化原则，或通过计量单位的转化，或根据积的变化规律，将小数转化成整数进行计算，都是将新问题转化为能解决的问题。

 

    三、产生三点思考

    1.运用面积模型有利于分析计数单位

    实践表明，用面积模型来探究乘法算理，在直观化表达计数单位上独具优势，从图中可以清楚地看到新产生的计数单位及其个数。在整数乘法中可以清楚地看到几个一、几个十、几个百┄┄在小数乘法中可以清楚地看到几个一、几个0.1、几个0.01┄┄在分数乘法中可以清楚地看到几个几分之一。运用面积模型探究乘法算理，凸显了对计数单位的深人分析。

    2.研究载体一致有利于迁移学习经验

    算理的探究最终都可以追溯至运算的意义。张奠宙等人在《小学数学研究》一书中描述了乘法的三种含义：①份数与一份量相乘；②长度×长度＝面积；③倍。实践证明，将“长度×长度＝面积”作为探究乘法算理的载体，在各类乘法算理的探究中都是可行的，有利于学生迁移之前的学习经验，尝试解决新问题。

    3.经验的迁移有利于感悟运算一致性

    感悟运算的一致性，重要的是帮助学生体会思考问题的方法，逐步感悟并积累迁移解决新问题的经验。这些经验既包括对运算意义的一致性理解，也包括算理探究过程中的方法延续性和对核心要素一贯性的关注。小数乘法算理的探究，前承整数乘法的学习，后启分数乘法的学习。研究载体的一致性有利于算理探究过程中学习经验的迁移，学习经验的迁移则有利于学生进一步感悟运算的一致性。