五、让估算融入数学课程的途径

    估算在数学课程中所呈现出的基本矛盾主要反映在估算任务目标的主观性不同于通常精确计算任务的客观性，估算结果和方法的开放性不同于通常标准算法结果的确定性和算法的程序化，以及用估算解决问题时思维方式的或然性和思考过程的复杂性不同于通常解决问题过程与方法的模式化。
    对于习惯于精确计算的教师和学生来说，估算难教、难学也就可以理解了。

    综观我国各个版本的小学数学教科书，其中与估算相关的内容大致有两种类型。
    第一种是单纯的估算；第二种是利用估算解决实际问题，或者对准确计算进行检验等。
    存在的问题主要有：与估算思维方式类似的课程内容不够丰富；估算与精确计算呈现分离状态；仅把估算视为解决实际问题的工具，忽略其培养思维的育人功能。
    解决这些问题的途径与方法应当是开发更多具有开放性特征的课程资源并融入到课程内容中；在标准算法的教学中融入估算的内容与方法，沟通估算与精确计算之间的联系；在利用估算解决问题的设计中，注重并细化估算过程中的思维因素。

    （一）开发具有开放性特征的课程资源
    所谓开放性的课程资源指的是对其内容或方法的思考不是唯一确定的，需要针对多种可能性进行列举、比较与选择。
    如前所述，估算具有开放性的特征，在数学课程中呈现更多具有开放性的资源，使更多的数学课程内容与估算具有类似属性，这样可以使得教师和学生逐步熟悉此类内容，同时让可能性思维得到循序渐进的培养。
    数学课程中的概念往往强调表述的确定性，其目的是为了理解的一致性。而概念的生成往往具有开放的特征，并不一定是唯一确定的。
    比如，“角”这一概念，从生成的角度看，既可以看作是“从一个顶点出发的两条射线形成的”，也可以看作是“一条射线围绕顶点旋转而成的”。［9］前者是静态的理解，后者是动态的理解。正是概念生成的这种发散特征，使得概念的理解蕴含了可能性思维。

    小学数学课程中的计算教学，通常是以“又对又快”作为评价指标的，教学中往往以确定性的计算“程序”为主要教学内容，追求程序化操作的熟练。
    其实在这种确定性的程序之中也蕴含着类似于估算的思维方式。由美国国家科学基金资助研发的小学数学教科书Think Math，其中三年级关于竖式计算的内容中设计了选择百位数字的问题（见图1）。［10］

    图1中题目要求学生“仅写出百位数字”。学生通过对此类问题的思考，自然会形成一种意识，就是加法结果的百位数字不仅与加数的百位数字有关，还与十位数字和个位数字有关，有时有进位数字，有时没有进位数字。因此计算过程中就要有多种可能性的比较与选择。
    事实上，开放性课程资源蕴含于数学课程内容的方方面面，开发此类课程资源的重要途径是反思、改造现有的数学课程内容。

    （二）让估算与标准算法携手
    这里所说的标准算法指的是计算过程程序化的算法，通常所说的“竖式算法”就是一种程序化的算法。相对于估算的开放性来说，思维方式是截然不同的。
    那么怎样才能使估算与标准算法融为一体呢？
    下面以全美数学教师协会（NCTM）1986年题为《估算与心算》的年度报告中“437×8”的教学案例为例进行说明。
    在这一教学案例中，针对“437×8”的计算给出了两个问题目标，一个是“求出准确结果”（见图2），另一个是“求出估算结果”（见图3）。

    在图2“求出准确结果”的竖式标准算法过程中，强调思考顺序是“自右向左”，也就是从“7×8＝56”开始计算，而且用箭头表示出这样的顺序。
    而在图3“求出估算结果”的计算过程中，指明思考顺序是“自左向右”，即首先计算的是“400×8＝3200”，而且说明“3200”就是一个“好（Good）”的估算结果。在此基础上，如果继续计算出“30×8＝240”，与前面的3200加起来所得到的3440，就成为了“更好（Better）”的估算结果。

    这样对比式的教学对学生的学习来说至少有四点好处：
    第一是可以感受到标准算法与估算在思考顺序上的不同，前者是从最低位数字开始思考，后者是从最高位数字开始思考；
    第二是可以习得估算方法中数据重塑的高位策略，并且渗透了估算区别于标准算法的开放性特征；
    第三是可以加深对竖式标准算法算理的理解，这个算理实际上就是“位值制”。在“437×8”的竖式标准算法计算过程中，最后一步的计算通常会背诵口诀“四八三十二”，在估算过程中对“400×8＝3200”的计算就暗示了竖式标准算法中这一步计算的不是“4×8＝32”；
    第四是让学生感受到了算法多样化，对于过程与方法来说，没有最好，只有更好。
    这种让估算与标准算法相互携手的教学，应当有益于摆脱二者相互独立、非此即彼的对立状态，使之相互融合。

    （三）细化估算思维过程
    由美国皮尔逊教育有限公司出版的一套名为Scott Foresman—Addison Wesley Math的数学教科书，其中五年级教材中有一个“大象吃草”的问题。［11］（见图4）类似于前面《标准（2011年版）》中“够不够”的问题。

    图4是教科书对“大象吃草”问题呈现的画面，其中包含了“主体”（画面右侧）和“辅助”两个部分（画面左侧）。
    主体部分自上而下又包括了三个内容：
    第一是课题名称和需要思考的问题，课题名称为“估算乘积”，思考的问题是“精确计算还是估算？”；
    第二是“大象吃草”问题的叙述：“动物园中一头成年大象每天需要吃87磅草料，饲养员在二月份的28天中饲养了4头同样的大象，那么现有的12000磅草料够不够？”；
    第三是给出需要计算的算式“87×28×4”，并指明了算式中每一个数据在问题叙述中的含义。
    辅助部分包括“核心想法”和思考过程需要用到的“术语”。核心想法是“估算乘积可以有许多不同的方法”。术语包括“大估、小估、凑十、匹配”，这些术语显然是对估算方法的提示。

    紧接在问题呈现画面之后，就是解决问题过程的画面（见图5）。

    图5画面的辅助部分（图5左上），首先给出了前面画面中“精确计算还是估算”这一问题的思考结果：“只要估算，因为只需要知道够不够”。
    在画面主体部分包括了四项内容。
    第一是需要思考的问题：“估算乘积有哪些方法？”
    第二是对前面术语中的“大估”和 “小估”作出解释：“把算式中的因数变大，就是大估；把算式中的因数变小，就是小估。”
    第三是给出两种方法作为样例：第一种方法是将“87×28×4”中的“87”扩大为100，“28”扩大为30，这样得到估算结果为“100×30×4＝12000”；第二种方法是将“87×28×4”中的“28”缩小为25，并特别注明了估算的“匹配”策略，也就是提示学生25与4的乘积为100，这样的匹配可以简化计算。
    两种方法样例之后是问题的结论：“因为饲养员有12000磅草料，所以二月份的草料够。”

    “大象问题”的最后一幅画面是思考讨论的三个问题：
    第一个问题是“前面第二种方法为什么把28变为25？”；
    第二个问题是“哪一种方法是大估？你是怎么知道的？”；
    第三个问题是“哪一种方法是小估？你是怎么知道的？”

    纵观“大象问题”的教科书画面可以发现，在这一问题的教学过程中，学生至少应当思考如下三个问题：
    这个问题是否可以估算？
    有哪些方法可以用于估算？
    应当大估还是小估？
    应当说还缺少了一个对“估算结果是否合理”的思考和讨论。如果在最后思考讨论的问题中增加一个“哪一种方法更加有效”，或许这个教学设计就更加圆满了。

    对比我国估算内容的课程与教学，所缺少的应当是对思考内容的细致设计。
    这样的思考内容主要是面对问题时的“能否估算”、解决问题过程中的“怎样估算”以及针对估算结果的“是否合理”。
    在课程内容的呈现中细化这些思考内容，应当是更好地实现估算育人功能的有效途径。
   
    温馨提示：请关注“估算”在数学课程中的矛盾分析（1）（2）
    （谭晓明 鲁淑琴选编）