三、策略选择的或然性

    在运用估算解决问题的过程中，策略选择的思考中存在着诸多的不确定因素甚至风险。相对于精确计算来说，这些不确定因素一方面是导致其难教、难学的主要原因，另一方面也是培养学生良好思维品质的契机和素材。

    （一）估算的“风险”
    先看这样一个问题：“一件上衣58元，一条裤子43元，买一套大约需要花多少钱？100元钱够吗？”
    如果直接精确计算“58＋43”的结果为101，立刻就可以得到问题的结论是“100元钱不够”。
    如果运用估算，对于“买一套大约需要花多少钱”这一问题，学生通常会运用“数据重塑”将58和43改变为最接近的整十数而后计算，即：
    58≈60，43≈40
    60＋40＝100
    由此得到“大约需要100元钱”，并且“100元钱够”的结论。
    这里出现了精确计算51×49与52×48的大小”。
    如果用精确计算的方法，直接计算出51×49的结果为2499，52×48的结果为2496，立刻可以得到“51×49＞52×48”的结论，不需要更多的思考。
    如果用估算的方法，就可能将51×49与52×48中的每一个数据都就近变为整十数，结果两个算式都改变为了同样的算式50×50，这样自然就无法比较两个算式结果的大小。
    因此，估算策略还会出现“无效”的风险。

    类似地还有不同方法得到不同结论的情况。
    比如，这样一个问题：“一个篮球49元，买8个400元够吗？”
    如果把49放大看成50，8×50等于400。所以买8个400元够。
    如果把8看成10，49×10等于490。比400大，所以买8个400元不够。
    同样的问题运用不同的估算方法得到了不同的结论。
    因此，运用估算解决问题会出现“多解不同果”的风险。

    诸如此类的风险都反映出运用估算解决问题过程中策略选择的或然性特征，这种或然性使得解题者在运用估算解决问题的过程中自然会出现“拿不准”的感觉，这种拿不准的感觉就会使学生在解决问题的过程中宁愿使用精确计算，也不愿意使用估算。

    值得注意的是，这种拿不准的感觉孕育着一种重要的思维形式，即可能性思维。

    （二）可能性思维及其作用
    所谓可能性思维是相对于确定性的思维形式而言的，指的是针对不确定事物或现象进行列举、比较、筛选与判断的思考过程。
    在前面运用估算解决问题时，有的估算方法能够达成问题目标，也有的方法不能够达成问题目标。这就使得解题者不能够运用程序化的算法直接解决问题，还需要结合问题情境和问题目标等因素对诸多可能的方法进行列举、比较和筛选，在此基础上对方法的选择作出判断。
    如果不采用估算，那么就只需要按照确定的程序计算出结果。相对于估算过程中的可能性思维来说，直接的精确计算过程就是一种确定性的思维形式。

    日常的工作和生活中，这种可能性思维是经常出现的。
    比如，驾车下班回家，有两条距离相同的路线（路线Ａ，路线Ｂ）可供选择，人们自然的想法是选择畅通的路线。为了这一目的，首先需要列举所有可能出现的情况：
    （1）两条路线都不堵车；
    （2）两条路线都堵车；
    （3）路线A堵车，路线B不堵车；
    （4）路线B堵车，路线A不堵车。
    接下来就需要形成判断，究竟哪一种情况会出现。
    这种思考的困难在于，情况未发生的时候是无法预知哪一种情况一定发生。因此，思考的问题就需要改变为“哪一种情况出现的可能性大”。为了得到这一问题的答案往往需要统计的思维，调动过去已有的经验进行比较和判断。
    需要注意的是，无论选择了哪一条路线都有可能选错。
    因此，可能性思维最突出的特征是“可误”，与前面估算过程的不可靠或无效的特征是一致的。

    从历史上一些科学研究和发现中，也能看到可能性思维的作用。
    比如，关于物体自由落体的理论，古希腊的科学家亚里士多德早有论断：两个重量不同的物体同时从高处落下，重的要比轻的先落地。
    意大利科学家伽利略发现这一论断有着不可克服的逻辑矛盾，如果把一个100千克的球和一个1千克的球同时从高处落下，按亚里士多德的说法，前者应比后者先落地。如果把这两个球拴在一起，让它们同时从高处落下，那么会出现什么情况呢？
    （1）两个球拴在一起，重量成为101千克，按亚里士多德的理论，它的下落速度应该比刚才两个球的下落速度要快；
    （2）由于１千克的球比100千克的球下落速度慢，拴在一起后它必然要减慢100千克的球的下落速度，所以拴在一起的两个球的下落速度比100千克球的下落速度要慢。
    按照亚里士多德的论断，这两种可能性都应当发生，而这两种可能性是相互矛盾的，不可能同时发生，这就说明推理的前提是错误的。
    正是这样的思考，伽利略推翻了亚里士多德的论断，建立了新的物体自由落体理论。
    在这个事例中，伽利略按照亚里士多德的论断，列举出各种可能性进行比较，发现其中存在的矛盾，进而判断亚里士多德的论断是错误的，得到“在真空中，轻重不一样的物体从相同高度同时下落，应该同时落地”这一新的论断。

    由此还可以看到可能性思维具有“质疑”的特征，质疑作为一种思维品质几乎是所有科学研究中所不可或缺的。
    20世纪英国哲学家、数学家、逻辑学家和历史学家伯特兰•罗素（Ber－trand Russell，1872—1970）关于可能性与必然性有这样的论述：“……任何一个我们具有合理根据而对之抱有某种程度的相信或不相信的命题在理论上都可以排列在以必然的真理和必然的荒谬为两端的尺度之上。”［7］
    可能性思维实际上就是介于必然性和不可能之间的一种思维状态，当支持的证据越来越多时，就偏向了必然性；当否定的证据越来越多时，便偏向了不可能。

    综上可以概括出可能性思维的基本模式，在对诸多可能性列举的基础上去寻找证据，通过对这些可能性及其证据的比较，形成对可能性大小的判断。尽管这样的判断可能不可靠，甚至是错误的，但在认识事物、解决问题的过程中仍然可以起到重要作用。

    四、估算思考的复杂性

    小学数学课程与教学内容中有一类“够不够”的估算问题，此类问题应当来源于《标准（实验稿）》中的两个案例。
    其中第一学段的例5为：“如果公园的门票每张8元，某校组织97名同学去公园玩，带800元钱够不够？”
    第二学段的例4为：“李阿姨想买2袋米（每袋35.4元）、14.8元的牛肉、6.7元的蔬菜和12.8元的鱼。李阿姨带了100元，够吗？”

    《标准（2011年版）》的例26，把这一问题修改为：“李阿姨去商店购物，带了100元，她买了两袋面，每袋30.4元，又买了一块牛肉，用了19.4元，她还想买一条鱼，大一些的每条25.2元，小一些的每条15.8元。请帮助李阿姨估算一下，她带的钱够不够买小鱼？能不能买大鱼？”［8］
    不仅沿袭了《标准（实验稿）》中“够不够”的问题，还增加了“能不能”的问题。

    下面以此题为例详细分析其思考过程的复杂性。
    题目中包含了两个问题，第一个是“100元够不够买小鱼”，第二个是“100元能不能买大鱼”。
    无论是否使用估算，首先需要明确 “够不够”的问题实际就是比较“30.4×2＋19.4＋15.8”的计算结果与100的大小关系的问题。
    如果前者大于100，就可以得到“不够”的结论；反之就可以得到“够”的结论。
    如果不使用估算，只需要直接计算出“30.4×2＋19.4＋15.8”的结果为96，明显看出100＞96，立刻就可以得到“够”的结论。
    如果使用估算，要思考的内容就复杂得多了。
    对于“30.4×2＋19.4＋15.8”中的30.4，19.4和15.8这三个数，首先要思考分别应当放大还是缩小。
    这个问题的答案并不容易得到。相当于不是通过计算直接比较两个数的大小，而是要寻找一个中间数间接地比较两个数的大小。这个中间数（不妨用字母M表示）所应当符合的条件是受问题的结论所制约的。
    如果结论是“够”，也就是100大于或等于“30.4×2＋19.4＋15.8”的结果，那么这个中间数M就应当符合如下的不等式：
    30.4×2＋19.4＋15.8＜M≤100
    在这种情况下寻找中间数M，自然需要对“30.4×2＋19.4＋15.8”进行放大的变化。如果结论是“不够”，那么这个中间数M就应当满足不等式：
    30.4×2＋19.4＋15.8＞M≥100
    这时寻找中间数M，就需要对“30.4×2＋19.4＋15.8”进行缩小。这就说明，不同的结论使得中间数M与要比较的两个数之间的关系是不一样的。因此，寻找M之前，也就是要决定应当对“30.4×2＋19.4＋15.8”放大还是缩小之前，必须先知道问题的结论是“够”还是 “不够”。
    这里出现了一个“因果倒置”的矛盾现象，解决问题的过程是通过放大或缩小“30.4×2＋19.4＋15.8”比较其与100的大小，而选择是放大还是缩小，又需要依据“30.4×2＋19.4＋15.8”与100的大小关系。
    因此解决此类问题的思路实际上是先猜测结论，然后进行证明。不要说小学生，就是经验丰富的数学家遇到这样的问题也会感觉到困难。
    如果猜测结论是“够”，那么可以确定应当对“30.4×2＋19.4＋15.8”进行放大。接下来需要思考的是30.4，19.4和15.8这三个数分别放大为哪个数。
    如果分别放大为31，20和16，那么“30.4×2＋19.4＋15.8”的计算就变为“31×２＋20＋16（＝98）”的计算，显然简化了计算。由于：
    30.4×2＋19.4＋15.8＜98＜100
    可以知道
    30.4×2＋19.4＋15.8＜100
    因此可以得到“100元够买小鱼”的结论。
    据此可以说，以上所取近似数是合理、正确的。

    而在实际教学中能够引导学生想到这样合理、正确的近似数并非易事。
    可能出现的第一个问题是方向错误，比如，前面的30.4，为了简化计算很容易想到将其变为最近的整十数30，而不是31，导致算式“30.4×2＋19.4＋15.8”的结果缩小了，自然就违背了解决问题的需要。
    另外一个可能出现的问题是变化的幅度过大，比如上题中的15.8，如果为了简化计算将其放大为最接近的整十数“20”，那么算式的结果就变为：31×2＋20＋20＝102
    此时相当于得到了如下的两个不等式：
    30.4×2＋19.4＋15.8＜102
    100＜102
    从这两个不等式并不能判明“30.4×2＋19.4＋15.8”的结果与100的大小关系，其原因就在于将15.8放大为整十数20的变化幅度过大了。

    综上可以看出，运用估算的方法解决“100元够不够买小鱼”这一问题，其思维含量远远多于运用精确计算直接去思考。
    对于“能不能买大鱼”的问题，与前面“够不够买小鱼”的问题类似。
    以上分析表明，运用估算的方法解决问题，从算式的计算程序来看，其强度和难度都有所下降。但从解决问题整体思维的角度看，其含量却大大增加了。
    相对于精确计算来说，估算的复杂性体现于估算方法的多样性以及针对问题目标的选择性方面。
    因此估算教学应当把估算的过程看作是一个系统，这一系统体现的是计算的简捷、方法的多样以及针对问题目标的选择三方面的互动。

    温馨提示：请关注《“估算”在数学课程中的矛盾分析（1）（3）》
    （谭晓明 鲁淑琴选编）