估算作为小学数学课程内容源于1963年《全日制小学算术教学大纲（草案）》，起初对估算课程目标的认识仅限于培养计算能力。
    2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准（实验稿）》）更加重视学生估算能力的培养，不仅在四则运算中明确加强估算，同时在测量和几何中也加强了估测等能力的培养。
    《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）更是进一步将估算能力作为培养学生数感的重要方面。
    此外，要在解决具体问题的过程中，选择合适的方法进行估算，体会估算的实际应用价值，进而培养学生的估算意识。［1］凡此都体现出估算作为数学课程内容的育人功能。

    不可否认，估算这一课程内容在教学实践中存在很多问题。虽然教科书中加入了估算，但事实上这一内容并未真正融入数学课程，与相关内容以及教师的教和学生的学仍是一种对立关系。
    因此需要明晰估算作为课程内容的本质属性，揭示矛盾产生的原因，进而寻求将估算融入数学课程与教学的途径，实现估算的课程目标。

    一、从“大约”看估算问题目标的主观性

    “大约”一词是伴随着估算进入数学教科书的。人民教育出版社和北京师范大学出版社出版的《义务教育课程标准实验教科书•数学》（以下分别简称为《人教版教科书》和《北师大版教科书》），从一年级到六年级12册书中，“大约”和“约”（包括“大概”）都分别出现了270余次。
    按照《现代汉语词典》的解释，“大约”作为副词后接数量时，一般表示不十分准确但比较接近的意思。“大约”并不是一个具有严格意义的数学术语，因此在不同语境的使用中，其含义是会出现差异的。

    （一）“无法准确”中的大约
    在数学课程内容中，“大约”的第一种用法是表达“无法准确”的数量或数量关系。
    比如，圆周率是一个圆的周长与这个圆的直径的比值，由于这个比值是无理数，因此无法用整数或有限的十进小数表达出来，所以只能说“圆周率大约是3．14”或者“近似于3．14”。

    “无法准确”的第二种情况是表达某类事物或动物的数量属性。
    比如，在 《人教版教科书》二年级下册第90页中有这样一句话：“世界上最小的鸟是蜂鸟，大约只有２克重。世界上最大的鸟是鸵鸟，大约有100千克重。”这里所说的“蜂鸟”和“鸵鸟”，不是一只而是一类。当然不可能每一只蜂鸟的体重都是2克，也不可能每一只鸵鸟的体重都是100千克。
    这里所使用的“大约”反映的是一类动物体重的普遍规律，即“蜂鸟的体重都近似于2克”以及“鸵鸟的体重都近似于100千克”。这里的“2克”或“100千克”应当是鸟类学家对大量蜂鸟和鸵鸟的体重进行称量后所得到的平均值，因此这里的“大约”实际上是统计中“平均”的意思，因此也可以说“蜂鸟的体重平均为2克”以及“鸵鸟的体重平均为100千克”。
    诸如此类的问题叙述中表面看有“大约”，但并不属于需要估算的问题。

    第三种“无法准确”的情况是对运动或变化的数量描述。
    在 《北师大版教科书》三年级上册第52页有这样的问题：“小东每分钟走65米，从学校到家走了10分钟，小东家到学校大约有多少米？”题目中叙述的“小东每分钟走65米”，并不意味着小东每分钟真的走65米，行走过程中时快时慢是很正常的事情。
    这里的 “每分钟走65米”也是一个统计意义的平均值，因此也可以表述为“小东每分钟大约走65米”，或者“小东每分钟平均走65米”。
    题目的问题“小东家到学校大约有多少米”中的 “大约”，并不是要求运用估算解决问题，而是伴随着前面“大约走65米”而出现的。
    还有一种因不可知因素的干扰造成的“无法准确”的情况。
    在《人教版教科书》六年级下册中有这样一个问题：“一个圆柱形铁皮水桶（无盖），高12分米，底面直径是高的3/4。做这个水桶大约要用多少铁皮？”
    利用铁皮制作一个水桶自然需要对铁皮进行剪裁或切割，过程中会出现边角料，这样的边角料的数量是很难准确计算出来的。因此题目中“大约要用多少铁皮”中的“大约”应当是针对此而使用的，并不是要求计算过程要用估算。
    另外，这个问题的计算中还会用到无理数π，如果最后结果取了π的近似值，那么这里的“大约”还有“近似”的含义。

    （二）“可以准确”与大约
    运用估算解决的大部分问题都是“可以准确”表达或计算的，但鉴于计算者的主观意愿以及为了使得计算简单、快捷的目的，有意把准确的数据或运算改变了。
    虽然作为结果的数据是不准确的，但是可以满足计算者的主观意愿，这种主观意愿往往表现为一个任务的目标。
    比如，需要去买4件单价为4.9元的商品，购买者首先面临的问题目标是“带多少钱合适”，其主观意愿应当包括两个方面，第一是所带钱数应当“够”，其次是“合适”，也就是不要带的太多。因此自然就会把“4.9”改变为“5”进行计算，得到“带20元钱就够了”的结论。    这种情况下，不会把“4.9”缩小为“4”进行计算，因为这样计算的结果不能满足“够”的主观意愿。通常也不会把“4.9”放大为“10”，因为这样又违背了“不要太多”的主观意愿。其中把 “4.9”改变为“5”的计算过程就是估算的过程。

    在购买商品的过程中，购买者通常还会有想知道“应当找回多少钱”的主观意愿，此时的问题目标就是“应当找回多少钱”，针对这一问题目标就需要计算“20－4.9×4”的准确值，不能够使用估算了。
    如果离开了购买者的主观意愿，把这个情境下的问题目标叙述为“大约需要多少钱”，那么通常的方法是将4.9改变为最接近的整数4，得到“大约16元”的结论。由此可见，在“可以准确”的估算问题中，“大约”并不意味着“最接近”。
    “是否能够估算”以及“如何估算”是与问题的情境以及计算者的主观意愿直接相关的。    简单地说，估算的过程是为了满足人的主观需要而出现的，这是估算区别于其他运算的主要特征，不妨称之为估算目标的主观性。

    通常所说的计算、简算和近似计算往往对计算结果是有客观要求的，人的主观意愿都是追求准确。特别是“近似计算”，一般是在“无法准确”的情况下，不得已而为之的计算。
    比如，在计算圆的周长或面积的过程中，由于无理数“π”无法用有限十进小数表示，不得已采用四舍五入取近似值。虽然结果是不准确的，但人的主观意愿还是追求尽量准确。
    因此近似计算与估算是有本质上的差异的，不能将二者混同。

    二、估算的开放性

    由于估算目标的主观性，就使得评判估算结果是否正确的标准为是否达成主观意愿，相对于通常计算所追求的“准确”来说就具有了不确定性。
    这种不确定性自然就导致了估算方法的个性化和多样化特征。
    这种结果的不确定性和方法的个性化与多样化统称为估算的开放性。

    （一）估算方法溯源
    由于估算的开放性特征，关于估算方法的研究通常都是针对不同人群的调查进行的。
    美国纽约大学的黛博拉•莱文（Deborah R Levine）在针对大学生估算水平的研究中，依据文献分析和逻辑检验对估算方法进行了分类。［2］之后牛津大学的杜克（Ann Dowke）通过对专业数学家估算方法的调查，对上述分类进行了修改与完善。［3］
    总结出了如下的类型：运用分数、运用已知数或“好”数、运用整十数、运用数的分解、按标准算法计算、运用分配的性质以及特殊方法。

    为了从思维的角度研究估算的方法，也就是要回答“怎么想”的问题，以美国密苏里大学的罗伯特•雷斯（Robert E Reys）为首的研究小组对1200名7～12年级的学生以及部分成年人进行了调查，调查方法不局限于问卷的统计，还辅助以访谈的方法分析思维过程。通过对研究结果的分析与归类，总结出估算的三种基本思维过程：数据重塑、算式转换和盈亏互补。［4］

    （二）数据重塑与算式转换
    所谓数据重塑是指在估算时将注意力放在参与运算的数据方面，估算方法是以通过改变数据进而简化计算的。
    比如，对于“87419＋92765＋90045＋81974＋98102”的计算，算式中的五个数据都是五位数，只看最高位就可以估算出算式的结果近似于450000。这种策略在加减法估算中很常用，叫做“高位策略”。前面提及的利用整十数策略也属于数据重塑。

    数据重塑中的一种思考方式是通过改变数据使得算式中的各个数据互相匹配，以简便计算。
    比如，前面的算式“474357÷8127”改变为“480000÷8000”，其中的480000和8000具有整除关系，也就是具有了一种相互匹配的关系。再如，（347×6）/43的计算，如果把其中的347改写为350，43改写为42，那么42与6可以约分为7，7与350又具有整除关系，就使得算式中的三个数据相互匹配了。

    数据重塑的另外一种情况是将数据类型改变，比如，前面利用分数的策略，就是将小数或整数改变为分数，以达到简便计算的目的。在百分数的计算中也可以将百分数改写为相等或近似相等的分数，比如，“求123456789元钱的30％是多少”，就可以把百分数30％近似地看作1/3。

    估算的第二种思维过程是算式转换。这种思维过程是整体关注算式的结构，将注意力放在运算和运算顺序的改变上。
    前面关于（347×6）/43的估算中数据匹配的思考，实际上就蕴含了算式转换的思维过程，因为题目中所给出的运算顺序实际上是“347×6÷43”，而实际的运算顺序改变为“347÷（43÷6）”。

    在估算的思考过程中，数据重塑和算式转换的思维过程经常是同时出现的。但要注意二者是不同的，比如，对于“8946＋7212＋7814”的估算，如果把注意力放在数据的改变上，就会将算式改变为“9000＋7000＋8000”，从而得到估算的结果为24000，其中只有数据发生了变化，算式的结构并没有变化，因此，属于数据重塑的思维过程。
    如果从整体观察算式“8946＋7212＋7814”，会发现三个数据都接近8000，想到变加法为乘法，算式就变成了“8000×3”，其结果也是24000。这样的过程使得算式的结构发生了变化，因此，属于算式转换的思维过程。

    （三）盈亏互补
    盈亏互补实际上是追求估算结果尽量准确或与问题目标相契合的思维过程，是伴随在数据重塑和算式转换之中或之后进行调整的过程。这一思维过程是与问题的情境及问题的目标紧密相关的。
    比如，前面提及的问题情境：一位顾客购买单价4.9元的商品4件。如果问题目标是“顾客付给售货员20元，那么应当找回多少钱”，那么针对这一问题目标就要求“20－4.9×4”的计算结果是准确的；如果采用先乘除后加减的精确计算，需要先计算“4.9×4”得到结果为19.6，然后计算“20－19.6”得到0.4。
    在实际情境中，售货员往往是先把每件商品单价“4.9元”想象成“5元”，这样每件商品就增加了“0.1元”，因此估算出4件商品的价格“20元”，比实际价格增加了“0．4元”，应当找给顾客“0.4元”。
    这一过程首先是采用了数据重塑，将“4.9”改变为“5”，其中又蕴含了盈亏互补的思维过程，把算多的部分减回来了。

    盈亏互补作为一种思维方法，不仅在计算中使用，在解决问题中也经常出现。
    比如，明代程大位在《算法统宗》中解决“鸡兔同笼”问题所采用的“倍头法”，［5］也就是现在所说的假设法，其中就蕴含了盈亏互补的思维过程。［6］

    综上所述，从具体操作层面来看，很难说估算方法有多少种。
    从思维的角度来说，可以概括出估算的思维过程分别为数据重塑、算式转化和盈亏互补。    在具体计算过程中，这些思维过程往往是处于混杂交替的状态。

    待续：见《“估算”在数学课程中的矛盾分析（2）（3）》
    （谭晓明 鲁淑琴选编）